МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и науки РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное агенТство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный педагогический университет»

Кафедра математического анализа

Теоретические сведения и задания по действительному анализу

Методическая разработка

Пермь 2009

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ 4

I. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА 5

Тема 1. Эквивалентность множеств 5

Тема 2. Счетные и несчетные множества 7

II. МНОЖЕСТВА НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ 10

Тема 3. Замкнутые и открытые множества 10

Тема 4. Строение линейных множеств 14

III. МЕРА ЛЕБЕГА 17

Тема 5. Понятие меры Лебега 17

Тема 6. Измеримые функции 19

IV. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 22

Тема 7. Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции 22

V. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА 26

Тема 8. Метрические пространства. Основные понятия 26

Тема 9. Полнота метрических пространств 28

Тема 10. Принцип сжимающих отображений 30

VI. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 32

Тема 11. Гильбертовы пространства и обобщенные ряды Фурье 32

Примерная тематика курсовых работ 34

Примерный перечень вопросов к экзамену 35

СПИСОК Рекомендуемой литературы 36

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 38

Предисловие

Теория функций действительного переменного – одна из фундаментальных дисциплин, изучение которой является необходимым компонентом современного вузовского математического образования. Цель ее – расширение и углубление понятий, используемых в математическом анализе: «функция», «мера», «интеграл».

Достижение этой цели связано с решением следующих главных задач:

– сформировать представления об основных понятиях теории функций действительного переменного (в том числе на основе специального набора иллюстрирующих примеров и задач);

– показать применение теории функций действительного переменного в функциональном анализе;

– выработать умения решать задачи логическим путем, исходя из набора аксиом.

Данная методическая разработка призвана оказать помощь студентам в подготовке к семинарам и экзамену по курсу теории функций действительного переменного. Поэтому в ней представлены следующие материалы: планы семинарских занятий, сопровождаемые краткими теоретическими сведениями и ссылками на литературу (в квадратных скобках указаны порядковый номер книги в списке литературы и глава); задачи по важным разделам курса, расположенные в порядке возрастания сложности; ответы и рекомендации к решению; список основной и дополнительной учебной литературы.

При подготовке к семинарским занятиям рекомендуется тщательно изучить теорию соответствующего раздела по указанной ниже литературе. Желательно основные определения, формулировки теорем и их доказательства законспектировать. Решать задачи следует в указанном порядке, поскольку в решении отдельных задач требуются результаты предыдущих.

I. Мощность множества Тема 1. Эквивалентность множеств

1. Взаимно однозначное соответствие.

2. Эквивалентные множества.

3. Понятие мощности множества.

См. список литературы: [4, гл. 1.6]; [5, гл.1.3].

Краткие теоретические сведения

Отображение f: А → В называется взаимно однозначным соответствием, если для любого y В найдется один элемент х А такой, что f(x) = y.

Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества называются эквивалентными или равномощными. Это обозначается так: А ~ В.

Задачи

1. Привести примеры элементарных функций, устанавливающих взаимно однозначное соответствие между областью определения и множеством значений.

2. Установить взаимно однозначное соответствие между:

а) отрезками [a; b] и [c; d];

б) интервалами (a; b) и (c; d);

в) полуинтервалом [0; 1) и лучом [0; ∞).

3. Устанавливают ли функции и взаимно однозначное соответствие между областью определения и множеством значений?

4. Пусть φ: А → В – строго монотонная функция. Доказать, что отображение φ – взаимно однозначное.

5. Пусть φ: (a; b) → (c; d) – непрерывная функция, имеющая экстремум в точке х₀ (a; b). Показать, что отображение φ не является взаимно однозначным.

6. Можно ли с помощью непрерывной функции взаимно однозначно отобразить

а) отрезок [a; b] на интервал (a; b);

б) отрезок [a; b] на множество [c; d] [m; n], где [c; d] [m; n] = Ø?

7. Показать, что отношение эквивалентности ( ~ ) обладает следующими свойствами:

   1. А ~ А – рефлексивность;

   2. (А ~ В) (В ~ А) – симметричность;

   3. (А ~ В) (В ~ С) (А ~ С) – транзитивность.

8. Показать, что если А ~ А₁, В ~ В₁ и А В = Ø, А₁ В₁ = Ø,

то А В ~ А₁ В₁.

9. Пусть А = А_i, B = B_i и А_i A_j = B_i B_j при i j. Доказать, что если А_i ~ B_i , то А ~ В.

10. Пусть f: X → Y – взаимно однозначное отображение; А X, B   Y. Доказать: f(А В) = f (А) f(В).

11. Пусть f: X → Y – взаимно однозначное отображение; А X, B  Y. Доказать: f(А \ В) = f (А) \ f(В).

12. Пусть А В С и φ: A → C – взаимно однозначное отображение. Показать, что А \ В ~ С \ φ(В).

13. Установить взаимно однозначное соответствие между отрезком [0;1] и интервалом (0; 1).

14. Используя результаты задачи №13, установить взаимно однозначное соответствие между

а) отрезком [0; 1] и числовой прямой ( – ∞; ∞);

б) лучом [0; ∞) и интервалом (a; b).

15. Покажите, что любые два из бесконечных множеств действительных чисел: [α; β], [α; β), (α; β], (α; β), [α; ∞), (α; ∞), (– ∞; β], (– ∞; β) и (– ∞; ∞), где α, β – действительные числа и α < β, являются равномощными.

16. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел отрезка [0;1] и множеством всех точек с рациональными координатами квадрата [0;1] [0;1].

17. Докажите равномощность множества действительных и множества иррациональных чисел.