Контрольные вопросы.

1. Какие случайные процессы называются марковскими? Какова специфика математического описания этих процессов?

2. Почему процесс обслуживания в СМО типа M/M/n является марковским?

3. К какому типу принадлежат дифференциальные уравнения для вероятностей P_k(t) ?

4. Поясните применительно к рассматриваемой системе условия существования стационарного режима (режима статистического равновесия).

5. В чем состоят затруднения при исследовании нестационарного режима?

6. Какие возникают трудности при аналитическом исследовании нестационарного режима с помощью преобразований Лапласа?

7. В чем заключается основное ограничение в применении этого метода? Перечислите известные Вам численные методы решения систем дифференциальных уравнений.

8. В чем состоит метод Рунге - Кутты? Опишите вычислительную процедуру метода.

9. Как влияют на длительность нестационарного режима параметры СМО? Для ответа на этот вопрос необходимо ознакомиться с результатами расчета всех вариантов задания.

Работа № 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ МЕТОДОМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

Цель работы – изучение возможностей применения метода имитационного моделирования для исследования СМО.

Порядок выполнения работы.

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Для заданного варианта СМО подготовить программу и составить план проведения машинных экспериментов в соответствии с заданием.

3. Провести эксперимент на ЭВМ.

4. Обработать результаты машинных экспериментов – построить графики зависимостей характеристик СМО от варьируемых параметров.

5. Оформить отчет, в котором привести описание исследуемой СМО, результаты машинного счета, основные соотношения и результаты вычислений, графики, выводы на основе полученных результатов.

6. Ответить на контрольные вопросы.

Основные положения.

Применение аналитических и численных методов исследования СМО ограничено случаями, когда система является марковской и описывается уравнениями размножения и гибели или может быть сведена к ней. В противном случае исследование СМО возможно с помощью метода имитационного моделирования, основанного на многократной имитации с помощью ЭВМ процессов, протекающих в системе, с последующей статистической обработкой полученных результатов.

В качестве основных величин, характеризующих функционирование исследуемой СМО используют оценки математического ожидания числа занятых каналов, длины очереди, времени ожидания заявок в очере­ди, вероятностей обслуживания заявок, и др. Так, для момента времени t (otT_н), где T_н - время моделирования, могут быть вычислены

- оценка математического ожидания числа занятых каналов:

здесь - число занятых каналов в момент времени t в j-й реализации; N – число реализаций (прогонов модели);

- оценка вероятности того, что в системе в момент времени t есть k требований:

здесь - число реализаций, в которых на момент времени t в системе было k требований;

- оценка вероятности, что требование получит отказ:

где - общее число требований, появившихся к моменту времени t в j-й реализации; - число требований, получивших отказ к моменту времени t;

- оценка дисперсии числа занятых каналов в момент времени t:

Для получения представления о точности и надежности этих оценок могут быть найдены доверительные интервалы I_ при заданной доверительной вероятности .

1. Для математического ожидания числа занятых каналов

Значение t_ берется из распределения Стьюдента при (N-1) степенях свободы. При больших N (N>30) вместо распределения Стьюдента можно пользоваться нормальным законом. В этом случае

где Ф(х) - интеграл вероятностей:

2. Для вероятностей

Здесь

При больших N приближенно

,

где - С.К.О. оценки вероятности :

Кроме того, границы доверительных интервалов для вероятностей могут легко быть найдены из номограмм.

Пример СМО. Рассматривается n-канальная СМО с ограниченным временем ожидания в очереди . Количество мест в очереди ограничено числом m. На вход системы поступает стационарный поток требований. Функция распределения F(t_инт) интервалов времени между соседними требованиями задана. При наличии свободного канала обслуживания требование начинает обслуживаться. Длительность обслуживания t_обс - величина случайная и подчинена закону распределения G(t_обс). Если при поступлении требования все каналы заняты, то оно помещается в очередь, откуда поступает на обслуживание при освобождении одного из каналов. Если время ожидания требования в очереди t_ож достигает величины , то оно покидает систему необслуженным. Допустимое время  ожидания требования в очереди случайно, его закон распределения H(). Если при появлении требования очередь полностью заполнена, то требование покидает систему необслуженным.

Для заданной СМО требуется:

1. Исследовать возможность применения метода имитационного моделирования для анализа СМО. С этой целью принять законы распределения F(t_инт) и G(t_обс) экспоненциальными. Величину  принять неслучайной, >Т_мод. Найти точечные и интервальные оценки для P_k(t), k=0,n+m, a(t), средней длины очереди, P_отк(t). Сравнить полученные результаты с результатами численного интегрирования из работы № 1.

2. Исследовать влияние величины допустимого времени Т ожидания требования в очереди на характеристики системы: а) при экспоненциальном законе распределения Н() и б) при =const (F(t) и G(t) – экспоненциальные).

3. Исследовать влияние на характеристики системы законов распределения F(t) и G(t), варьируя для заданного вида закона рас­пределения значениями его параметров. Результаты моделирования сравнить с результатами численного интегрирования.

Порядок проведения имитационных экспериментов.

Для проведения имитационных экспериментов используется стандартная программа, реализующая двухканальную СМО. Для генерации случайных величин с заданными законами распределения F(t) и G(t) в них применяются подпрограммы, использующие датчик псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1].

Инструкцию по работе с программой и варианты заданий получить у преподавателя.

Контрольные вопросы.

1. Когда целесообразно для исследования СМО применять метод имитационного моделирования?

2. В каких случаях СМО не может быть описана с помощью уравнений размножения и гибели?

3. Как вычисляются точечные и интервальные оценки параметров СМО по результатам моделирования?

4. Как влияют вид и параметры законов распределения на характеристики СМО?

Работа №3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ

ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Цель работы - приобрести практические навыки использования методов теории массового обслуживания для исследования надежности систем, изучить влияние отдельных параметров системы на ее надежность.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с методическими указаниями.

2. Предполагая, что время безотказной работы основных и резервных элементов, а также время их восстановления подчинены экспоненциальному закону распределения с параметрами соответственно, рассчитать аналитически при n=1:

1. P_k(t) и P_k - вероятности состояний системы в переходном и стационарном режимах;

2. вероятность отказа P_m(t)=P_m+1(t);

3. среднее число элементов в резервной группе и в ремонте;

4. коэффициент готовности системы (вероятность того, что она в случайный момент времени исправна);

5. суммарную наработку на период T;

6. установить для режима статистического равновесия зависимость характеристик пп. а-д от числа резервных элементов и от числа одновременно восстанавливаемых элементов;

7. сопоставить показатели надежности системы (пп. а-е) в режимах нагруженного , облегченного и ненагруженного резервирования.

3. Для заданных преподавателем не экспоненциальных законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления методом имитационного моделирования:

1. оценить характеристики надежности системы (пп. а-д);

2. определить влияние режима резервирования на показатели надежности системы (аналогично п. ж);

3. сопоставить показатели надежности системы, найденные для экспоненциального и исследуемых законов распределения времени безотказной работы и восстановления, и сделать соответствующие выводы.

4. Составить отчет, в котором отразить:

1. исходные расчетные данные;

2. результаты аналитического исследования надежности системы, включающие графики изучаемых зависимостей и выводы по результатам исследования;

3. аналогично результаты исследований методом имитационного моделирования;

4. выводы по результатам сопоставления оценок показателей надежности для различных распределений времен безотказной работы и восстановления элементов.

5. Ответить устно на контрольные вопросы.