22.Формула Астраградскага-Лиувиля

Няхай дадзена ЛАДР з непарыўнымі каэфіцыентамі, тады мае месца наступная формула w(x):

w(x)= (*), дзе w(x)- дытэрмінант Вронскага, - каэфіцыент пры у ЛАДР.

Доказ

Дакажам гэту формулу для ЛАДР другога парадку: (1). Няхай і два рашэнні раўнання (1), тады:

= ( )- ( )= =

w(x)= (2)

Падстаўляючы ў (2) канстанту c атрымаем (*) – формула А-Л. 

23. Дапаможныя звесткі

Азначэнне. Ф-цыя z(x)=u(x)+iv(x), дзе u(x), v(x) – сапраўдныя функцыі ад сапраўднай зменнай, i²=-1 наз. камплекснай функцыяй ад сапраўднай зменнай.

Прычым функцыя u(x) – сапраўдная частка, v(x) – уяўная частка ф-цыі z(x).

Прыклад: 1)

Для функцыі z(x) мае месца формула: z⁽ⁿ⁾(x)=u⁽ⁿ⁾(x)+iv⁽ⁿ⁾(x)

Знойдзем вытворную функцыі ,дзе a=

^/=( )^/=( )^/+i )^/=

2) (x^me^ax)^/=mx^m-1e^ax+ax^me^ax, m N a C,R

Тэарэма. Калі ЛАДР L[y]=0 з сапраўднымі каэфіцыентамі мае камплекснае рашэнне z(x)=u(x)+iv(x). Тады u(x), v(x) таксама рашэнні ЛАДР.

Д-з: L[z]=L[u]+iL[v]=0.

L[z]=0 => L[u+iv]=0 => L[u]+iL[v]=0 => L[u]=0, L[v]=0.

24.Ладр n-нага парадку з пастаянными каэфіцентамі. Характэрыстычнае раўнанне. Выпадкі розных сапраўдных каранёў і кратнага сапраўднага корня.

Разгл. ЛАДР з паст. каэф. L[y]= (1),

дзе -нейкія сапраўдныя лікі. рашэнне y=C Выкарастаем падстаноўку Эйлера :L[ ]= = ( )= =0

Азн. Р-не p( )=0 наз. Характарыстычным р-нем для р-ня(1).

Згодна з Тэар.6 &5 агульнае рашэнне(1) павінна ўтрымлів. n лін. Нез. Рашэнняў гэтыя рашэнні будуць атрымлів., калі мы знойдзем карані характарыстычнага мнагачлена.

1 Выпадак

Нях. усе карані розныя і сапраўдныя

(2)тады кожнаму будзе адпавядаць рашэнне ,i=1,n. Сістэма ф-й (3)будзе ўтвараць ФСР р-ня (1)

Ф-і (3) л.н і іх колькасць ройна n тады згодна з тэар. 6&75 будзе выпісвацца ў выглядзе y=

3 Выпадак

Разгл. выпадак, калі існуюць кратныя карані характар. р-ня. Нях. -корань кратнасці k, тады =0, =0,…, ,

Мае месца Сцвярджэнне : Калі корань характ. р-ня кратнасці k, тады ф-і з’яўл. Л.н. рашэннямі р-ня (1)

Доказ: Каб д-ць гэты выраз L[ ] = L[ ]=

. Калі лік -корань кратнасці k характ. мнагачл., тады відавочна L[ ]=0, m=0,k-1

.н. можа быць устаноўлена з дапам выліч. Вранскіяна . Калі кампл. Корань з’яўл. Коранем кратнасці k , то яму адпавядае рашэнне

, x ,…,

25. Ладр n-нага парадку з пастаянными каэфицентами. Характэрыстычнае раунанне. Выпадак каплекснага кораня.

Разгл. ЛАДР з паст. каэф. L[y]= (1),

дзе -нейкія сапраўдныя лікі. рашэнне y=C Выкарастаем падстаноўку Эйлера :L[ ]= = ( )= =0

Азн. Р-не p( )=0 наз. Характарыстычным р-нем для р-ня(1).

Згодна з Тэар.6 &5 агульнае рашэнне(1) павінна ўтрымлів. n лін. Нез. Рашэнняў гэтыя рашэнні будуць атрымлів., калі мы знойдзем карані характ. мнагачл.

2 Выпадак.

Нях. сярод сапраўд. Каранёў ёсць нейкі камплексны корань т.як мнагачлен з сапраўд.каэф. тады будзе таксама лік з’яўл. Коранем гэтага мнагачл. Таксама .

Згодна з 1-ым п-м корань будзе адпавядаць рашэнню па Фор-ле Эйлера згодна з тэар. &17 ф-і ; будуць з’яўл. Рашэннем р-ня (1) у гэтым выпадку, другому караню будуць адпавядаць рашэнні і ; т. як =

Па гэтаму, калі характ.мнагач. мае камплексна спалучаныя карані , то гэтым коранем будуць 2 л.н. рашэнні і . Нях. мнагачлен мае карані тады агул.раш. выпісв.y=