20. Прастора рашэнняў ладр n-га парадку. Лінейная залежнасць і незалежнасць сістэмы функцый. Неабходная ўмова лінейнай залежнасці. Вранскіян. Дастатковая ўмова лінейнай незалежнасці. Прыклады.

Тэарэма1: Калі функцыі f(x) і , - непарыўныя на (a;b) функцыі, тады для пачатковых умоў (2), дзе ! рашэнне задачы Кашы (1), (2).

Лінейная залежная прастора. Азначэнне: Функцыі называюцца лінейна залежнымі на (a;b), калі , не ўсе роўныя 0 адначасова, такія, што выконваецца роўнасць (a;b). Калі апошняя роўнасць выконваецца толькі пры ўмове, што ўсе адначасова, то функцыі называюцца лінейна незалежнымі.

Тэарэма3(Неабходная ўмова лінейнай залежнасці функцыі): Калі функцыі лінейна залежныя на (a;b) і маюць вытворныя парадку m-1, тады дытэрмінант (a;b). Дытэрмінант W(x) называецца дытэрмінантам Вронскага або Вронскіянам.

Доказ: Так як функцыі -лінейна залежныя, то па азначэнню , не ўсе роўныя 0 адначасова, такія, што ваконваецца роўнасць . Прадыферэнцуем па х:

(3)

…………………………………………

(a;b).

(3) –гэта сістэма лінейная аднародная сістэма адносна зменных . Так як не нулявыя рашэнні гэтай сістэмы, то дытэрмінант матрыцы гэтай сістэмы абавязкова звяртаецца ў нуль, а дытэрмінант гэтай сістэмы з’яўляецца дытэрмінантам Вронскага. 

Прыклад:

1 1! 2! ... (m-1)!

Вынік: Калі хацяб у 1-ым п. , тады -л.н.

Тэарэма4(Крытэр лінейнай незалежнасці ЛАДР): Для таго, каб рашэнні ЛАДР з непарыўнымі каэфіцыентамі на (a;b) былі лінейна незалежнымі на (a;b) неабходна і дастаткова, каб (a;b).

Доказ:1.Дастатковасць:згодна з вынікам з т.3 дастатковасць мае месца.

2.Неабходнасць:Няхай функцыі з’яўл. лінейна незалежнымі, але (a;b) і w( )=0. Саставім сістэму раўнанняў:

(4)

…………………………………………….

Так як w( )=0, то гэтай сістэмы, не ўсе . Разгледзім наступны выраз y(x)= = . Гэта рашэнне задавальняе наступным пачатковым умовам (5) згодна з (4), але бачна, што y(x) тоесна роўна 0 таксама задавальняе ЛАДР з пачатковымі умовамі (5). Такім чынам атрымалі: =0, дзе не ўсе , а гэта азначае, што функцыі - лінейна залежныя. 

21.Линейная залежнасць и незалежнасць систэмы функцый. Неабходная умова линейнай незалежнасци систэмы рашэнняу ЛАДР н-нага парадку. Структура агульнага рашэння ЛАДР н-нага парадку. Фундаментальная систэиа рашэнняу ЛАДР.

Азначэнне: Функцыі называюцца лінейна залежнымі на (a;b), калі , не ўсе роўныя 0 адначасова, такія, што выконваецца роўнасць (a;b). Калі апошняя роўнасць выконваецца толькі пры ўмове, што ўсе адначасова, то функцыі называюцца лінейна незалежнымі.

Тэарэма5: Калі каэфіцыенты раўнання непарыуны на (a;b), тады сістэма лінейна незалежных рашэнняў, якія вызначаны на гэтым прамежку.

Доказ

Няхай тады ! рашэнне, задавальняючае наступным пачатковым умовам, няхай гэта рашэнне аналагічна ! рашэнне, якое задавальняе наступным пачатковым умовам

функцыя лінейна незалежная. 

Структура рашэнняў ЛАДР

Разгледзім (*). Няхай - рашэнне (*): , . Калі і - рашэнні ЛАДР (*), тады .

Тэарэма2: Калі - рашэнні ЛАДР (*), тады іх лінейная камбінацыя таксама рашэнне ЛАДР (*).

Азначэнне: Усякая сукупнасць з n лінейна незалежных рашэнняў ЛАДР называецца фундаментальнай сістэмай рашэнняў.

Тэарэма6: Агульнае рашэнне ЛАДР з непарыўнамі каэфіцыентамі , дзе (a;b) з’яўляецца лінейнай камбінацыей , -адвольныя пастаянныя, а -ФСР.