16. Выкарыстанне прынцыпу сцискальных адлюстраванняу для доказу тэарэмы Пикара

Разгл ДР (1) і пачатковую ўмову . Няхай С–метрычная прастора, якая складаецца з ўіх непарыўных ф-цый у(х) , якія вызначаны пры х [x₀-h;x₀+h], h=min{a,b/M} і якая D, а метрыка ρ вызначана наступным чынам: . Такая метрака з’яўл поўнай. Вызначым аператар: Аператар, адлюстроўвае С_h у сябе, т.як . Аператар А з’яўляеццца сціскальным, калі ρ(Ay+Az) αρ(y,z), 0 α 1

Раўнанне (1) можа быць пераписана ў выглядзе: у=Ау. Пакажам, што аператар А з’яўляецца сціскальным:

ρ(Ay+Az)= па ўмове Ліпшыца . Калі,Lh<1 , то аператар будзе з’яўляцца сціскальным і будзе нерухомы пункт , а гэта і азнаяае, што (1) мае адзінае рашэнне, пабудаваць якое можна, напрыклад, метадам паслядоўных набліжэнняў.

Сведения из матана:

Азн няхай Х некаторае непустое мн-ва. Метрыкай на мн-ве Х наз сапраўдная ф-цыя ρ: , якая вызначана на прамым здабытку і задавальняе наступным аксіёмам:

(аксіема тоеснасці)

(аксіема сіметрыі)

(аксіема трохвугольніка)

Азн Мн-ва Х з метрыкай ρ на гэтым мн-ве, г.зн. пара (Х, ρ) наз метрычнай прасторай.

Паслядоўнасць Кашы: .

Азн Метрычная пр-ра (Х, ρ) наз поўнай метрычнай пр-рай, калі ў гэтай пр-ры кожная фундаментальная паслядоўнасць збягаецца.

Азн Аператарам наз адлюстраванне A: H→G, дзе H і G – некатор пр-ры. Абсяг вызначэнне аператара D(A) – мн-ва на якім зададзена дзеянне аператара. E(A) G.

Азн Аператар А₀ наз пашырэннем аператара А, а аператар А наз звужэннем аператара А₀, калі:

D(A) D(A₀)

A₀x=Ax, x D(A)

17. ДР n-га парадку. Асноўныя азначэнні. Тэарэма Пікара для n-га парадку. Пункты існавання і адзінасці. Віды рашэнняў і інтэгралаў.

Азн: пункт называецца пунктам иснавання ДР ,кали праз го праходзиць хацяб адно рашэнне гэтага раунання.

Азн. пункт иснавання, яки валоае наваколлем, унутры якога усе рашэнни раунання, якия праходзяць праз гэты пункт, супадаюць, называецца пунктам адзинасци. У процилеглым выпадку – пунктам неадзнасци.

Азн. пункт (х,у) плоскасци называецца асабливым, калиен не ъяуляецца пунктам иснавання и (ци) адзинасци рашэння .

Азн: рашэнне, кожны пункт якога зъяуляецца асабливым, называецца асливым рашэннем.

Азн: Крывая, якая у кожным сваим пункце дотыку да крывой нейкага сямейства не супадаез ниводнай з крывых сямейства, называецца агинальнай для гэтага сямейства.

Разгледзім ДР n – га парадку выгляду F( x, y, y ^/ , …, y⁽ⁿ⁾) = 0. Будзем лічыць, што гэта раўнанне вырашана адносна старэйшай вытворнай, г. зн. y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y ^/ , …, y^{(n -1)}) ((1)). Тады y = φ(x) будзе з’яўляцца рашэннем ((1)) на некаторым прамежку I, калі φ(x) – n разоў непарыўна дыферэнцавальная на I і пры падстаноўцы у ((1)) звяртае яе у правільную роўнасць. Для рашэння ((1)) задачу Кашы можна сфармуляваць наступным чынам: знайсці такое рашэнне y = φ(x), якое задавальняе наступным умовам: y = y₀, y ^/ = y₀ ^/ , …, y^{(n -1)} = y₀^{(n -1)}, пры x =x₀ ((2)), дзе x₀, y₀, y₀ ^/ , …, y₀^{(n -1)} – нейкія лікі. Напрыклад: для раўнання y­­ ^//= f(x,y,y ^/ ), y(x₀) = y₀, y ^/(x₀) = y₀^/. Геаметрычна гэта можна растлумачыць як знайсці інтэгральную крывую якая праходіць праз п.(x₀,y₀) і мае у гэтым пункце вызначаны накірунак. y₀^/= tgα

Пр.: Знайсці інтэгральную крывую ра-ня y ^//=1, якая праходіць праз п.(1;1/2) і мае у гэтым п. датычную, вуглавы каэфіцыент якой=-1.y ^//=1; y(1)=1/2;y ^/(1)=-1;y ^/=x+C₁;y=x²/2+C₁x+C₂;y(1)=1/2+C₁+C₂=1/2;y ^/(1)=1+C₁=-1 =>C₁=-2; ½-2+C₂=1/2 => C₂=2; y=x²/2-2x+2.

- раўнанне вызначае рух; x(t₀)=x₀ - пачатковы стан п.; x ^/(t₀)=v₀ - пачатковая хуткасць. Трэба знайсці такі рух x(t), такі што матэрыяльны п. у момант часу t₀ знаходзіцца у x₀ і мае пачатковую хуткасць v₀.

Тэарэма(дастатковая умова існавання і адзінасці рашэння задачы Кашы): Няхай дадзена ДР((1)) з пачатковымі умовамі ((2)). Няхай ф-цыя f(x, y, y ^/ , …, y^{(n -1)}) –вызначана у некаторым замкнёным абсягу D: |x-x₀|≤a, |y-y₀|≤b, |y ^/-y₀^/|≤b,…,|y^(n-1)-y₀^(n-1)|≤b, дзе a і b некатарые дадатныя лікі і няхай ф-цыя f задавальняе дзвум умовам:

1)ф-цыя f непарыўна па кожнай з сваіх зменных і значыць што M |f(x, y, y ^/ , …, y^{(n -1)})|≤M

2)ф-цыя f мае абмежаваныя частковыя вытворныя па аргументам , дзе κ –const дадатны.

Пры гэтых умовах р-не ((1)) мае адзінае раш-не y=y(x), якое задавальняе пачатковым умовам ((2)), гэта раш-не вызначана і непарыўна-дыф-нае сумесна з вытворнымі да парадку n у абсягу |x-x₀|≤h, дзе h=min{a,b/(max{M,|y|,|y ^/|,…,|y^(n-1)|})} (БЕЗ ДОКАЗУ)

Азнач.: Сям’ю рашэнняў р-ня ((1)), якое залежыць ад n адвольных пастаянных y=φ(x,C₁,C₂,…, C_n) называюць агульным рашэннем гэтага раўнання.

Няхай абсяг D –гэта абсяг прасторы (x, y, y ^/ , …, y^{(n -1)}), у кожным п. якога задача Кашы мае адзінае рашэнне.

Азнач.: Ф-цыя y=φ(x,C₁,C₂,…, C_n), якая вызначана у некаторым абсягу змянення зменных x,C₁,C₂,…, C_n і непар.-дыферэн. n-разоў па першай зменнай наз-ца агульным раш-нем р-ня ((1)), калі выконваюцца дзве умовы:

сістэма раўнанняў вырашана адносна пастаянных C₁,C₂,…, C_n у абсягу D, г.зн. C₁ можа быць вырашана як ((3)) Сістэма ((3)) вызначае тыя значэнні сталых пры якіх ф-цыя y=φ(x,C₁,C₂,…, C_n) з’яўляецца рашэннем ((1)). Раш-не р-ня ((1)) якое складаецца толькі з п. адзінасці раш-ня задачы Кашы наз-ца частковым. Рашэнні якія атрымліваюцца з агульным раш. пры канкр. C₁,C₂,…, C_n уключ. ±∞ будуць з’яўляцца частковымі. Рашэнне р-ня ((1)) у кожным п. якога парушаецца умова адзінасці раш-ня задачы Кашы, наз-ца асаблівым.

Азн Пункт (x;y) наз пунктам існавання ДР (1), калі праз яго праходзіць хаця б адно рашэнне гэтага раўнання

Азн Пункт існавання, які валодае наваколлем, унутры якога ўсе рашэнні раўнання, якія праходзяць праз гэты пункт, супадаюць, называюць пунктам адзінасці, у процілеглым выпадку пунктам неадзінасці.

Азн (x;y) наз асаблівым пунктам раўнання (1), калі ён не з’яўляецца пунктам існавання і (ці) адзінасці рашэння (1).

Азн Рашэнне, для любога пункта якога з’яўляецца асаблівым пунктам, з’яўляецца асаблівым.

Пр y’ = 2 => y=0 – рашэнне.

або у=(х+С)², х -С.

Любы пункт рашэння у=0 з’яўляецца пунктам неадзінсці, а зн у=0 – асаблівае рашэнне.

. Вытворная ў наваколлі пунктаў прамой у=0 неабмежавана, па гэтаму ўмовы тэарэмы Пікара не выкананы.

Азн Крывая, якая у кожным сваім пункце датыкаецца да крывой нейкага сямейства і не супадае з ніводнай з крывых наз агінальнай крывой.