11. Др якия зводяцца да аднародных (адносна зменных)
Разгледзем раунанни наступнага выгляду:
.
Такия раунанни можна прывесци да аднародных.
Выпадки:
1)
=0,
значыць
.
,
.
Пагэтаму:
=
.
2)
:
.
Тады
гэта систэма мае адзинае рашэнне. Няхай
рашэнне пункт (
Зробим
падстаноуку:
.
du=dx, dv=dy.
Падставим у наша раунанне:
)
= (т. я. (
рашэнне
систэм)= f(
)
– аднароднае дыф. раун., т. я. правая
частка аднародная систэме 0.
Каб
рашыць гэта раунанне трэба выкарыстаць
падстаноуку z=
.
12. Ладр першага парадку. Агульнае рашэнне
Азначэнне. Няхай дадзена раунанне (1). Дыф. раун. (1) называецца линейным, кали функцыя линейна адносна у, гэта значыць можна прадставиць: f(x,y)=a(x)*y+b(x).
Записваюць:
+p(x)y=q(x)
(2), дзе p(x)
и q(x)
вызначаны и непарыуныя на некаторым
прамежку J,
прыгэтым, кали q(x)
тоесны 0, то атрымаецца раунанне:
+p(x)y=0
(3), якое называецца линейным
аднародным ДР
(ладр).
Кали q(x)
не тоесны 0, то (2) называецца линейным
неаднародным ДР
першага парадку (лндр). Функцыя q(x)
называецца неаднароднасцю.
Кали
функцыи p(x)
и q(x)
непарыуны на некаторым интервале (a,
b),
прычым a
,
b
,
тады задача Кашы, састауленная з (2) и
пачатковай умовай y(
(4) ,
мае адзинае рашэнне, згодна з тэарэмай
Пикара.
Агульнае рашэнне ладр.
Ладр першага парадку – раунанне з пераменными, якия падзяляюцца.
+p(x)y=0
p(x)y
(y=0 - ?)
+ln
C, C>0.
ln
=
+ln
C.
y=C
,
c
.
y=0: 0+p(x)*0=0=0 – выканана.
y=C
,
C
R
– агульнае рашэнне, т. я. :
C=y
.
Для любога С зададзенная формула вызначае рашэнне.
Кали
,
а
-- интэрвал непарыунасци функцыи p(x),
тады рашэнне можа быць записана у
выглядзе:
у(x)=C
.
Няхай зададзена ладр и пачатковая умова (4). Тады падставим гэту умову у наша раунанне:
у(
)=
.
13. Ладр першага парадку. Структура агульнага рашэння. Метад Бернули
Азначэнне. Няхай дадзена раунанне (1). Дыф. раун. (1) называецца линейным, кали функцыя линейна адносна у, гэта значыць можна прадставиць: f(x,y)=a(x)*y+b(x). Записваюць: +p(x)y=q(x) (2), дзе p(x) и q(x) вызначаны и непарыуныя на некаторым прамежку J, прыгэтым, кали q(x) тоесны 0, то атрымаецца раунанне: +p(x)y=0 (3), якое называецца линейным аднародным ДР (ладр). Кали q(x) не тоесны 0, то (2) называецца линейным неаднародным ДР першага парадку (лндр). Функцыя q(x) называецца неаднароднасцю.
Кали функцыи p(x) и q(x) непарыуны на некаторым интервале (a, b), прычым a , b , тады задача Кашы, састауленная з (2) и пачатковай умовай y( (4) , мае адзинае рашэнне, згодна з тэарэмай Пикара.
Структура агульнага рашэння неаднароднага лінейнага раўнання
Разгледзем раунанне : +p(x)y=q(x) (1).
И
няхай функцыя
(х)
– нейкае вядомае частковае рашэнне
гэтага раунання.
Будзем шукаць рашэнне раунання (1) у выглядзе: y(x)= (х)+z(x). Падставим гэты выраз у (1):
+p(x)(
=q(x)
p(x)
и q(x)
скароцяцца, бо зъяуляюцца рашэннем,
таму:
+
p(x)
=0
(5).
Раунанне (5) называецца адпаведным аднародным дыф. раун. да неаднароднага дыф. раун. (1).
z=C .
Таким
чынам агульнае рашэнне (1): y=
C
.
Заувага. Кали пункт , на яким функцыи p(x) и q(x) непарыуныя, тады рашэнне раунання (1) можна записаць у выглядзе интэграла СА зменнай верхняй мяжой:
y= C (6).
Тэарэма. Кали зъяуляецца частковым рашэннем лндр (1), тады агульнае рашэнне гэтага раунання мае выгляд:
y=
,
дзе
=
C
-- агульнае рашэнне дыф. раун. (5).
Метад Бернулі
Будзем шукаць рашэнне лндр (1) у выглядзе: y=u(x)*v(x), дзе u и v новыя невядомыя функцыи, прычым u(x) мы спачатку выбираем якимсьци чанам, а затым знаходзим v(x).
u’v+v’u+p(x)uv=q(x)
u’v+u(v’+ p(x)v)= q(x) (8).
Вызначым v з умовы v’+ p(x)v=0.
Выберым у якасци v функцыю v= ( мы выбрали С=1). Падставим v у (8):
u’ = q(x)
u=
dx+С
y(x)= u(x)*v(x)=( dx+С) .