5.Агульныя, частковыя и асаблівыя рашэнні.

Няхай абсяг Д - гэта той абсяг, у кожным пункце якога ДР (1) мае адзінае рашэнне.

Азначэнне 1: Ф-я (2), якая вызнач. у некаторым абсягу змяненне зменных х,С і непар. дыф. па зменнай х назыв. агульным раш. ДР (1) у абсягу Д, калі: 1) Судачыненне (2) выраш. адносна С для ўсіх (х;у) з Д, г.зн. (3); 2) Для ўсіх значэнняў (х;у) з Д фор-ла (3) дае такое значэнне С, уключаючы , пры якім ф-я (2) з’яўл. раш. раўн. (1).

Заўвага: Сутнасць гэтага азначэння наступная: Няхай F – сям’я крывых, якія належ. Д і гэта сям’я залеж. ад параметра С. Калі пра кожную крывую з F вядома, што яна з’яўл. інтэграл. крывой раўн. (1) і ўсе крывыя з F у іх сукупнасці пакрываюць Д, тады F – агул. раш.

Азначэнне 2: Рашэнне ва ўсіх пунктах якога вык-ца ўмова адзінасці назыв. частковым.

Азначэнне 3: Роўнасць Ф(х;у;С)=0 назыв. агул. інтэгралам раўн-ня (1), калі яно вызначае агу. раш. у= у неяўным выглядзе.

Азначэнне 4: Рашэнне ДР (1), у кожным пункце якога парушаецца умова адзінасці назыв. асаблівым.

6.Метад изаклин для здр першага парадку

(1)

Разгл. х і у як дэкартавыя каар., тады ў вобл. вызнач. ф-і f(х;у) можна кожнаму пункту з каар. (х;у) паставіць у адпав. . Т.я. - гэта тангенс вугла нахілу датычнай з дадатным накірункам ОХ, то кожнаму п. (х;у) можна паставіць у адпав. накірунак. Г.зн., што ў абсягу вызнач. f(х;у) раўн-не задае поле напрамкаў. Тады задача інтэграв. ДР можна сфармул. Наступным чынам: Знайсці такія крывыя, датычныя да якіх у кожным пункце супадаюць з накірункам поля ў гэтым пункце.

Азначэнне 1: Ізаклінай назыв. крывая, ва ўсіх пунктах якой поле мае адзін і той жа накірунак. Раўн-не сям-ва ізаклін для ДР (1) запісв. так: f(х;у)=k, k .

Калі мы будзем прыдаваць k розныя значэнні, то атрымаем розныя ізакліны. Ізакліны – гэта лініі ўзроўню для ф-і f(х;у).

Прыклад:

= , =k, x=2k, k

k	ізакліна
-1	x=-2
	x=
0	x=0	0
	x=
1	x=2

7.Др у поуных дыферэнцыялах. Прыкмета раунання у поуных дыферэнцыялах. Прыклады.

Разгледзім ДР у дыферэнцыяльнай форме

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1),

Лічым, што функцыі M(x, y), N(x, y) — непарыўныя па абедзюх зменных у некаторым адназвязным абсягу D плоскасці XOY, прычым

M²(x, y) + N²(x, y)  0.

Азначэнне 1: ЗДР (1) называецца раўнаннем у поўных дыферэнцыялах, калі яго левая частка з'яўляецца поўным дыферэнцыялам некаторай функцыі дзвюх зменных. Г.зн. ёсць ф-я . Так як du=0, то u(x;y)=C – агульны інтэграл раўнання (1).

Прыклад 1:

ydx+xdy=0

d(xy)=ydx+xdy

d(xy)=0

xy=C

Тэарэма: Калі ф-і M(x, y), N(x, y) — неп. дыф. ў адназвязным абсягу Д, то ДР (1) з’яўл. раўнаннем у поўных дыферэнцыялах, тады і толькі тады, калі выконваецца ўмова Эйлера:

Доказ:

Неабходнасць. Паказаць, што выконваецца ўмова Эйлера

du= M(x, y)dx + N(x, y)dy.

Прадыф. 1-ю роўнасць па у, а другую – па х:

M і N – непар., пагэтаму маем права дыф-ць.

Так як M і N непар., то зменныя частк. вытв. супадаюць.Значыць выконваецца умова Эйлера.

Дастатковасць. Паказаць, што раўнанне з’яўл. раун. у поўных дыф-лах. Доказ выканаем канструктыўна.

Пабудуем такую ф-ю u, каб для яе левая частка з’яўлялася поўным дыф-м.

= M(x, y)dx + N(x, y)dy.

(2)

Няхай (x₀, y₀) – унутраны пункт вобласці Д, а (х;у) – адвольны пункт Д.

Тады з роўнасці (2) (4)

(3)

Прадыф-м (4) па у:

(5)

Параўнаем (5) і (3)

N(x;y)=N(x;y)-N(

u(x;y)=

Мы пабудавалі цэлае сямейства ф-й, няхай, для якіх поўны дыф-л супадае з левай часткай (1). Выберым адну ф-ю з гэтага сям-ва, няхай . Тады агульнае рашэнне ДР (1) запіш. у выглядзе:

Даказана.

Заўвага: Можна паказаць, што агульны інтэграл раўнання (1) можа быць запісаны ў выглядзе:

Прыклад:

(

D=

M(x;y)=

N(x;y)=

=3

=

M(x;y)=

u=

N(x;y)=

=

(y)=0

u(x;y)=x , =0.

x

Заўвага: Даст-ць умовы Эйлера ў тэарэме можна было дак-ць, выкарыстоўваючы крывал. інтэграл, тады ў якасці u(x;y) бяром:

- інтэграл 2-га роду.