36. Интэграванне линейных систэм др з пастаянными каэфицэнтами. Характэр. Раунанне. Паняцце аб метадзе Эйлера.

Разгледзім ЛАС выгляду

(7)

Дзе - сапраўдны лік.

Знайсці агульнае рашэнне ЛАС можна некалькімі метадамі. Калі сістэма мае зручны выгляд, можна скарыстаць метад непасрэднага інтэгравання, ці метад паслядоўнага выключэння.

Азнаемімся з метадам Эйлера знаходжання фундаментальнай сістэмы рашэнняў сістэмы (7), якім можна карыстацца ў любым выпадку.

Рашэнне сістэмы (1) будзем шукаць у выглядзе

(8)

дзе - невядомыя лікі.

Падстаўляем (8) і (7), скарачаем на і атрымліваем наступную сістэму алгебраічных рашэнняў для знаходжання лікаў .

(9)

Сістэма (9) мае нетрывіяльнае рашэнне толькі ў выпадку, калі

(10)

Азначэнне: Раўнанне, якое задаецца формулай (10), называецца характэрыстычным раўнаннем(ХР), а яго карані – характэрыстычнымі лікамі ЛАС (7).

Разгледзім тры выпадкі:

усе , карані ХР, сапраўдныя і розныя;

усе , карані ХР, розныя, але магчыма камплексныя;

сярод , каркнёў ХР, сустракаюцца кратныя.

37. Интэграванне линейных систэм др з пастаянными каэфицэнтами. Метад Эйлера. Выпадак розных сапраудных каранёу.

Метад Эйлера. Выпадак розных сапраўдных каранёў ХР.

Калі карані ХР ,з’яўляюцца сапраўднымі і рознымі, падстаўляем іх па чарзе ў сістэму (9) і знаходзім адпаведныя рашэнні :

кораню будзе адпавядаць рашэнне сістэмы ,

кораню будзе адпавядаць рашэнне сістэмы , і гэтак далей,

кораню будзе адпавядаць рашэнне сістэмы .

Адпаведна будуюцца частковыя рашэнні

Агульнае рашэнне будуецца па тэарэме 2:

Прыклад 1

Рашэнне сістэмы шукаем у выглядзе .

Характэрыстычнае раўнанне мае выгляд

Карані .

Будуем сістэму для знаходжання па :

Сістэма зводзіцца да аднаго раўнання . Адзін з лікаў можна абіраць адвольна. Лічым , адпаведнае рашэнне ЛАС

Для кораня . Лічым , адпаведнае рашэнне ЛАС ,

Агульнае рашэнне ці

38. Интэграванне линейных систэм др з пастаянными каэфицэнтами. Метад Эйлера. Выпадак розных каранёу сярод яких ёсць камплексныя.

Метад Эйлера. Выпадак розных каранёў ХР, сярод якіх ёсць камплексныя.

Пакажам, як знайсці сапраўдныя рашэнні ЛАС (7), якія адпавядаюць камплексным караням ХР кратнасці 1.

Няхай ХР мае камплексны корань . Тады абавязкова ХР мае і камплексны спалучаны корань . Знойдзем пару рашэнняў сістэмы (7), якая адпавядае гэтай пары каранёў ХР.

Карыстаемся формай (8) рашэння.

Камплексны корань падстаўляем у сістэму (9) і знаходзім адпаведныя лікі магчыма камплексныя.

Будуем камплекснае частковае рашэнне сістэмы (7), якое адпавядае кораню

Можна даказаць, што сапраўдная і ўяўная часткі камплекснага рашэння (11), з’яўляюцца лінейна незалежнымі рашэннямі зыходнай сістэмы (7).

Прыклад 2:

Будуем ХР

Карані .

Будуем камплекснае рашэнне для кораня

Будуем сістэму для знаходжання па

Маем . Лічым , адпаведнае рашэнне ЛАС

Знойдзем сапраўдную і ўяўную часткі рашэння

Агульнае рашэнне

ці