33. Систэмы др. Астноуныя паняцци. Задача Кашы. Иснаванне и адзинасць рашэння. Агульныя и частковыя рашэнни.
Азначэнне:Сукупнасць
раўнанняў
(1) , дзе
- невядомыя функцыі
аргумента і называецца сістэмай.
Калі
сістэму(1) можна перапісаць
(2), то сістэму (2) называюць нармальнай
сістэмай дэферэнцавальных раўнанняў
Рашэнне сістэмы:
Азначэнне:
Усякая сукупнасць з
-
функцый
,
якія вызначаны і непарыўна дыферэнцавальны
на інтэрвале
,называецца рашэннем сістэмы (2), калі
яно звяртае ўсе раўнанні сістэмы (2) ў
правільныя роўнасці, для
.
Задача Кашы. Дастатковыя ўмовы існавання і адзінасці рашэння задачы Кашы. (тэарэма Пікара).
,
(3)
Няхай дадзена нармальная сістэма (2) з пачатковымі ўмовамі (3).Няхай функцыя з правымі часткамі сістэмы (2) вызначана ў замкнутым абмежаваным абсягу D:
D:
Дзе
і
дадзеныя
дадатныя лікі і задавальняюць наступным
умовам:
-
непарыўная на абсягу D.Гэта
значыць
,
для
і
Частковыя
вытворныя:
- абмежаваныя для ўсіх пунтаў
.
Гэта значыць
,
.
Тады пры гэтых умовах сістэма (2) мае
адзінае рашэнне.
,
якое задавальняе дадатковым умовам (3)
вызначана і непарыўна дыферэнцавальна
на прамежку
,
(Без
доказу).
34. Прывядзенне нармальнай систэмы да др н-нага парадку и наадварот.
Прывядзенне нармальнай сістэмы -рашэнняў да аднаго раўнання -га парадкаў.
Разгледзім сістэму раўнанняў:
(2)
Прадыферэнцуем першае раўнанне
Палічам
трэццюю вытворную:
І
гэтак далей
Саставім
наступную сістэму
Калі
гэту сістэму можна вырашыць адносна
.
Тады:
Падстаўляючы
атрыманыя выразы ў роўнасць
атрымаем раўнанне
-га парадку
Прыклад:
;
, або
Прывядзенне раўнання -га парадку да сістэмы - раўнанняў.
Няхай дадзена раўнанне
Няхай
Прыклад:
35. Линейныя систэмы др. Лас и лнс. Линейная незалежнасць систэмы функцыянальных вектарау. Фундаментальная систэма. Вронскиян.
Азначэнне:
Нармальная сістэма дыферэнцыяльных
раўнанняў называецца лінейнай, калі
правыя часткі сістэмы з’яўляюцца
функцыямі, лінейнымі адносна
(1)
Будзем
лічыць, што ўсе каэфіцыенты
і
з’яўляюцца непарыўнымі функцыямі на
нейкім адрэзку
.
У гэтым выпадку ўмовы тэарэмы існавання
і адзінасці выковаюцца.
Азначэнне:
Калі ўсе функцыі
на адрэзку
,
лінейная сістэма (1) называецца аднароднай
(ЛАС).У адваротным выпадку сістэма
называецца неаднароднай (ЛНС).
Фундаментальная сістэма рашэнняў.
Як у выпадку ЛАДР -га парадку, агульнае рашэнне ЛАС можа быць пабудавана з дапамогай частковых рашэнняў ЛАС, калі яны складаюць лінейна незалежную на адрэзку сістэму.
Рашэннем
сістэмы
дыферэнцыяльных рашэнняў з’яўляецца
функцыянальны вектар
,
які задавальняе сістэме.
Азначэнне: Сістэма функцыянальных вектараў
(2)
называецца лінейна незалежнай на
адрэзку
,
калі не існуе такіх адначасова роўных
нулю лікаў
,
пры якіх на
выконваюцца
роўнасцяў
(3)
Азначэнне: Сукупнасць лінейна незалежных на адрэзку рашэнняў ЛАС называецца фундаментальнай сістэмай рашэнняў ЛАС.
Аналагічна выпадку ЛАДР - га парадку мае месца.
Тэарэма 1: Для таго, каб сістэма рашэнняў ЛАС.
(4)
Была лінейна незалежнай на адрэзку , неабходна і дастаткова, каб дэтэрмінант
(5)
Не абарочваўся ў нуль у якім-небудзь
пункце адрэзку
(Без
доказу).
Азначэнне:
Дэтэрмінант
(5) называецца дэтэрмінантам
Вронскага(Вранскіянам) для функцыянальных
вектараў (2).
Мае месца.
Тэарэма 2: Калі фундаментальная сістэма (4) рашэнняў ЛАС вядома, агульнае рашэнне ЛАС можа быць пабудавана па формуле
(6)
- адвольныя канстанты (Без
доказу).