30. Прыкладанни др у физицы. Задача аб вольных и вымушаных ваганнях. Вымушаныя ваганни у асяродзи без супрациулення.

Няхай дадзена цела масы m, якое падвешана на пружыне. Калі цела знаходзіцца ў становішчы раўнавагі, то сіла m*g ураўнаважваецца упругой сілай пружыны. Г.зн, што mg=сs, дзе с – каэфіцыент пругкасці. Вывядзем цела са становішча раунавагі: перамясцім цела на адлегласць у₀ ад пачатковага становішча і адпусцім. Выберам накірунак восі уздоўж пружыны, а за пачатак каардынат возьмем пачатковае становішча цела. Становішча цела у момант часу t будзе апісваць функцыя y(t).

Выніковая усіх сіл: F = ma, F = mg - c(y+s) - ky’ = -cy - ky’, дзе k – каэфіцыент супраціулення асяроддзя.

a = y’’, my’’ = -cy - ky’, або my’’+ cy + ky’ = 0 (1). Гэта раунанне называецца раўнаннем свабодных ваганняў.

Калі прысутнічаюць нейкія знешнія сілы, тады раунанне прыме выгляд:

my’’+ky’+cy = F_зн(t) (2) і яно называецца раўнаннем вымушанных ваганняў у асяроддзі з супраціўленнем.

Для зручнасці раунанне (1) і (2) перапішам у выглядзе:

y’’+k/m*y’ +c/m*y = 0 Абазн: k/m = 2p c/m = w²

y’’+2py’ + w² y = 0 (1’)

y’’+2py’ + w² y = 1/m F_зн(t) (2’)

y’’+w² y = 0 называецца раўнаннем вольных ваганняў у асяроддзі без супраціўлення.

Вымушаныя ваганни у асяродзи без супрациулення

Разгледзім раўнанне (2’) у выпадку, калі правая частка мае спецыяльны выгляд: 1/m F_зн(t) = H sin qt, дзе q, t – некаторыя лікі

y’’+2py’ + w² y = H sin qt

Разгледзім выпадак вымушаных ваганняў у асяроддзі без супраціўлення. Гэта мадэль апісваецца раўнаннем y’’+ w² y = H sin qt. Знойдзем частковае рашэнне гэтага раўнання метадам нявызначаных каэфіцыентаў

а) q ≠ w ỹ = M cos qt + N sin qt

P₀(t) = 0 Q₀(t) = H

ỹ‘ = -q M sin qt + q N cos qt

y ‘’ = -q² M cos qt - q² N sin qt

-q² M cos qt - q² N sin qt + w²(M cos qt + N sin qt) = H sin qt

-q² M + w²M = 0 M = 0

-q² N + w²N = 0 N = H/ (w² - q²)

ỹ_y= H/ (w² - q²) sin qt

y = A sin (wt + α) + H/ (w² - q²) sin qt

У дадзеным выпадку маем 2 ваганні з рознымі частотамі, пры гэтым, калі w→ t, то y(t) будзе расці.

Гэта з’ява выкарыстоўваецца у радыепрыемніках.

б) q = w

Частковае рашэнне шукаем у выглядзе: ỹ = (M cos qt + N sin qt) t

ỹ‘ = (-q M sin qt + q N cos qt ) t + M cos qt + N sin qt

y ‘’ = (-q² M cos qt - q² N sin qt) t -2q M sin qt + q N sin qt + 2q N cos qt

(-q² M cos qt - q² N sin qt) t - 2q M sin qt + 2q N cos qt + w² (M cos qt + N sin qt) t = H sin qt

-2qM = H M= –H/2q

2qN = 0 N = 0

ỹ = –H/2q t cos qt

y = A sin (wt + α) –H/2q t cos qt

У дадзеным выпадку маем сітуацыю, калі амплітуда другога складніка з цягам часу неабмежавана расце. Такая з’ява, калі пры t → 0, размахі ваганняў неабмежавана нарастаюць называецца зэявай рэзананс.