28.Прыкладанни др у физицы. Задача аб вольных и вымушаных ваганнях. Вольныя ваганни у асяродзи без супрациулення.

Няхай дадзена цела масы m, якое падвешана на пружыне. Калі цела знаходзіцца ў становішчы раўнавагі, то сіла m*g ураўнаважваецца упругой сілай пружыны. Г.зн, што mg=сs, дзе с – каэфіцыент пругкасці. Вывядзем цела са становішча раунавагі: перамясцім цела на адлегласць у₀ ад пачатковага становішча і адпусцім. Выберам накірунак восі уздоўж пружыны, а за пачатак каардынат возьмем пачатковае становішча цела. Становішча цела у момант часу t будзе апісваць функцыя y(t).

Выніковая усіх сіл: F = ma, F = mg - c(y+s) - ky’ = -cy - ky’, дзе k – каэфіцыент супраціулення асяроддзя.

a = y’’, my’’ = -cy - ky’, або my’’+ cy + ky’ = 0 (1). Гэта раунанне называецца раўнаннем свабодных ваганняў.

Калі прысутнічаюць нейкія знешнія сілы, тады раунанне прыме выгляд:

my’’+ky’+cy = F_зн(t) (2) і яно называецца раўнаннем вымушанных ваганняў у асяроддзі з супраціўленнем.

Для зручнасці раунанне (1) і (2) перапішам у выглядзе:

y’’+k/m*y’ +c/m*y = 0 Абазн: k/m = 2p c/m = w²

y’’+2py’ + w² y = 0 (1’)

y’’+2py’ + w² y = 1/m F_зн(t) (2’)

y’’+w² y = 0 называецца раўнаннем вольных ваганняў у асяроддзі без супраціўлення.

Вольныя ваганні ў асяроддзі без супраціўлення

y’’+w² y=0

λ²+ w²=0

λ = ±і w

y = c₁cos wt + c₂ sin wt = (c₁²+c₂²)^1/2(c₁/((c₁²+c₂²)^1/2) cos wt) + c₂/((c₁²+c₂²)^1/2) sin wt = (c₁²+c₂²)^1/2(sin α cos wt + cos α sin wt) = A sin (wt + α), A=(c₁²+c₂²)^1/2, дзе А – амплітуда, w – частата, α – пачатковая фаза.

29. Прыкладанни др у физицы. Задача аб вольных и вымушаных ваганнях. Вольныя ваганни у асяродзи з супрациуленнем.

Няхай дадзена цела масы m, якое падвешана на пружыне. Калі цела знаходзіцца ў становішчы раўнавагі, то сіла m*g ураўнаважваецца упругой сілай пружыны. Г.зн, што mg=сs, дзе с – каэфіцыент пругкасці. Вывядзем цела са становішча раунавагі: перамясцім цела на адлегласць у₀ ад пачатковага становішча і адпусцім. Выберам накірунак восі уздоўж пружыны, а за пачатак каардынат возьмем пачатковае становішча цела. Становішча цела у момант часу t будзе апісваць функцыя y(t).

Выніковая усіх сіл: F = ma, F = mg - c(y+s) - ky’ = -cy - ky’, дзе k – каэфіцыент супраціулення асяроддзя.

a = y’’, my’’ = -cy - ky’, або my’’+ cy + ky’ = 0 (1). Гэта раунанне называецца раўнаннем свабодных ваганняў.

Калі прысутнічаюць нейкія знешнія сілы, тады раунанне прыме выгляд:

my’’+ky’+cy = F_зн(t) (2) і яно называецца раўнаннем вымушанных ваганняў у асяроддзі з супраціўленнем.

Для зручнасці раунанне (1) і (2) перапішам у выглядзе:

y’’+k/m*y’ +c/m*y = 0 Абазн: k/m = 2p c/m = w²

y’’+2py’ + w² y = 0 (1’)

y’’+2py’ + w² y = 1/m F_зн(t) (2’)

y’’+w² y = 0 называецца раўнаннем вольных ваганняў у асяроддзі без супраціўлення.

Вольныя ваганні ў асяроддзі з супраціўленнем

y’’+2py’ + w² y = 0

λ² + 2p λ + w² = 0

λ_1,2 = – p ± (p²-w²)^1/2

a) p < w

λ_1,2 = – p ± i(p²-w²)^1/2 = – p ± iw₁, w₁ = (w²-p²)^1/2

(p²-w₂)^1/2

y = e^-pt (c₁cos w₁t + c₂ sin w₁t) = A e^-pt (sin w₁t + α)

калі t → ∞, y(t) → ∞.

б) p > w

λ_1,2<0

y(t) = c₁e^{(– p + (p2-w2)1/2) t} + c₂e^{(– p - (p2-w2)1/2) t}

в) p = w

y = (c₁ + c₂t) e^-pt