Лабораторная работа № 9 Среднеквадратичное приближение сеточных функций
Дана сеточная функция y (x),
заданная на системе узлов
своими значениями в узлах
.
Известно, что по системе n
узлов можно построить интерполяционный
полином порядка n-1 , который будет
принимать во всех узлах в точности
предписанные значения. Однако, во многих
практически важных случаях необходимо
построить полином степени меньше, чем
n-1, приближающий данную сеточную
функцию «в среднем». В этом случае можно
сформулировать задачу отыскания такого
полинома порядка m <
n-1:
(9.1)
при котором «невязка», то есть суммарное отличие значений полинома в узлах от значений сеточной функции, было бы наименьшим. Если записать выражение для «невязки» в виде
, (9.2)
то условиями для определения коэффициентов
полинома
будут
необходимые условия минимума функции
многих переменных S (a0, a1, …, am).
Таким образом, коэффициенты могут быть найдены из решения системы уравнений
(9.3)
Для получения рабочих формул метода
продифференцируем выражение для
«невязки»
по aj :
(9.4)
Поскольку
то
и условие
приводит к уравнению:
. (9.5)
Преобразуем выражение суммы
. (9.6)
Следовательно, неизвестные коэффициенты a0, a1, …, am можно найти, решив систему из m + 1 линейного уравнения
. (9.7)
Алгоритм метода
1. Зададим узловые значения функции yi и узлы xi для i = 1 ÷ n.
2. Вычислим матрицу
размером (m +1)×(m +1)
:
, для i, j =
1÷ (m +1).
3. Вычислим правые части системы
:
, для i =
1÷ (m +1).
4. Решив систему уравнений методом Гаусса, получим ее решение:
aj , j = 1÷ (m +1) .
5. Вычислим значения найденного полинома в узловых точках
и вычислим «невязки» в узлах
.
Варианты заданий приведены в табл. 7. Значения найденного полинома степени m искать только в узловых точках.
Таблица 7. Варианты заданий к лабораторной работе № 9.
№ вар |
|
Значения i |
m |
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|||
1 |
xi yi |
0,3 7,2 |
0,9 5,8 |
1,1 4,4 |
1,8 0,2 |
2,1 2 |
2,8 3,4 |
3,4 -1,2 |
3,9 -3,7 |
3 |
2 |
xi yi |
0,1 -3,2 |
1,5 -6,8 |
1,8 -4,3 |
2,2 -2,2 |
2,9 1,3 |
3,4 5,1 |
4,5 4,2 |
5 7,3 |
4 |
3 |
xi yi |
1,2 6,5 |
1,8 -3,1 |
2,6 0,1 |
3,1 1,7 |
3,6 -4,1 |
4,5 0,2 |
5,6 8,7 |
6,2 7,3 |
3 |
4 |
xi yi |
0,5 7,3 |
1,3 6.2 |
2 3,7 |
2,6 3,9 |
3,9 5,6 |
5,2 3,3 |
6,5 5,5 |
7,3 8,5 |
4 |
5 |
xi yi |
-1,2 15,7 |
-0,6 12,1 |
-0,3 8,7 |
0,3 9 |
0,7 9,6 |
1 3,7 |
1,3 -5,8 |
1,9 -7,4 |
3 |
6 |
xi yi |
3,2 4,4 |
4,3 2,5 |
5 -0,7 |
6,7 -6,8 |
7,5 -7,6 |
8,2 -3,3 |
9,1 6,5 |
10 8,5 |
4 |
7 |
xi yi |
1,2 6 |
1,31 3,4 |
1,35 2,9 |
1,43 3,2 |
1,5 3,8 |
1,69 3,1 |
1,82 6,5 |
2 25 |
3 |
8 |
xi yi |
1 9 |
1,4 4,1 |
1,8 -5,4 |
2,1 -6,2 |
2,7 -8,5 |
3,1 -5 |
3,4 -2,8 |
3,6 7,7 |
4 |
№ вар |
|
Значения i |
m |
|||||||
9 |
xi yi |
23 99 |
28 55 |
32 12 |
40 5 |
43 -3 |
50 10 |
57 21 |
62 44 |
3 |
10 |
xi yi |
0,9 20 |
0,96 47 |
1 37 |
1,12 16 |
1,25 -29 |
1,29 -37 |
1,35 -4 |
1,4 15 |
4 |
11 |
xi yi |
5 46 |
6 42 |
8 38 |
11 72 |
13 61 |
16 33 |
20 24 |
23 0 |
3 |
12 |
xi yi |
0 16 |
1,3 2 |
2,9 72 |
4 83 |
5,5 98 |
7,8 42 |
9 34 |
11 77 |
4 |
13 |
xi yi |
-1,2 1,2 |
-0,9 -0,6 |
-0,5 -2,2 |
-0,1 2,4 |
0,1 5,8 |
0,5 4 |
1 -2,7 |
1,2 -5,9 |
3 |
14 |
xi yi |
1 70 |
9 28 |
15 2 |
23 9 |
30 41 |
31 37 |
33 23 |
36 18 |
4 |
15 |
xi yi |
2,8 15 |
4,1 6,4 |
6,6 1,2 |
7,5 -6,8 |
9,5 -14 |
10,3 -7,3 |
12 0,3 |
12,8 9,8 |
3 |
16 |
xi yi |
1,3 0,3 |
1,5 2,2 |
2,4 6,4 |
3,8 5,9 |
5 1 |
6,8 -0,2 |
7,1 -1,3 |
8,2 0 |
4 |
17 |
xi yi |
1,5 2,4 |
2,1 5 |
2,9 6,9 |
3,1 4,7 |
3,4 2,5 |
3,8 -3,9 |
4,6 -1,4 |
5,2 0,6 |
3 |
18 |
xi yi |
1,7 5,7 |
6 6,4 |
7,4 6,5 |
10,5 4,2 |
12,8 2,1 |
15 5 |
16,1 9,8 |
19,8 16,6 |
4 |
19 |
xi yi |
0,06 0,6 |
0,15 2,7 |
0,22 -2,8 |
0,28 2,2 |
0,48 0,5 |
0,57 -7,8 |
0,7 -2,1 |
0,89 10,9 |
3 |
20 |
xi yi |
1,1 2,1 |
1,3 2,8 |
1,6 -4,4 |
2,1 3,6 |
2,2 -8,7 |
2,6 7,2 |
2,9 7,6 |
3 3,4 |
4 |
№ вар |
|
Значения i |
m |
|||||||
21 |
xi yi |
8,11 4,2 |
8,44 7,1 |
8,7 5,4 |
9,01 4 |
9,55 6,7 |
9,66 7,3 |
9,9 8,6 |
10,2 9,2 |
3 |
22 |
xi yi |
0,21 6,9 |
0,43 6,7 |
0,75 1,3 |
1 7,3 |
1,11 9,4 |
1,37 7,6 |
1,72 5,2 |
1,9 3,9 |
4 |
23 |
xi yi |
0,99 1,4 |
1,13 1,7 |
1,25 2,9 |
1,39 1,3 |
1,5 -1,6 |
1,62 -3,3 |
1,78 -9,6 |
1,88 -6 |
3 |
24 |
xi yi |
2,3 5,85 |
2,8 9 |
4,1 7,2 |
4,5 4,3 |
5,2 -0,1 |
5,9 -2,9 |
7 -1,8 |
7,9 0,1 |
4 |
25 |
xi yi |
0,77 11,6 |
0,9 7,3 |
0,94 3,1 |
0,96 1,7 |
0,99 0,3 |
1 -0,1 |
1,17 -2,6 |
1,3 0,5 |
3 |
26 |
xi yi |
0 9,4 |
0,25 6,7 |
0,35 4 |
0,5 2,5 |
0,75 0,8 |
0,95 3,3 |
1,2 5,6 |
1,5 7,1 |
4 |
27 |
xi yi |
-1 2,4 |
0 2,9 |
0,7 4 |
1,2 0,3 |
1,9 -5,2 |
4 -8,3 |
4,3 -9 |
4,9 3,2 |
3 |
28 |
xi yi |
0,5 9,9 |
1,2 5,3 |
1,7 -3,2 |
2,2 -6,5 |
3,1 -1,7 |
3,5 0,95 |
3,9 3 |
4,1 5,4 |
4 |
29 |
xi yi |
1,3 13,5 |
1,9 7,4 |
2,8 -0,7 |
3,7 -2,4 |
4,2 0,6 |
5,1 4 |
5,8 0,3 |
6,9 -0,4 |
3 |
30 |
xi yi |
0,3 7,2 |
0,9 5,8 |
1,1 4,4 |
1,8 0,2 |
2,1 2 |
2,8 3,4 |
3,4 -1,2 |
3,9 -3,7 |
4 |