Лабораторная работа № 7 Определение собственных векторов и собственных значений матрицы
Собственными значениями матрицы называются корни λ1, λ2, …, λn характеристического уравнения n-го порядка
det |A - λE| , (7.1)
где A - матрица n×n.
E - единичная матрица порядка n.
Собственные значения матрицы могут быть упорядоченными по величине λ1 > λ2 > …> λn, ставится задача отыскания наибольшего собственного значения λmax.
Собственным вектором матрицы А,
соответствующим i - тому собственному
значению λi
называется решение
системы
. (7.2)
В силу того, что система однородна, собственный вектор определяется с точностью до произвольного постоянного множителя.
Поскольку любой произвольный n -
мерный вектор
может быть разложен по собственным
векторам
, (7.3)
то при подстановке вектора
в систему получим
и так далее.
В
общем случае
. (7.4)
Если
,то
величины
при k → ∞
то есть при достаточно больших k
или
.
Таким образом, выбрав произвольный вектор и, умножая его последовательно на матрицу А k раз, получим, что λ1 является коэффициентом пропорциональности в соотношении
, (7.5)
причем точность этого равенства повышается с ростом k.
Тогда
, где
- норма вектора
.
Алгоритм метода
1. Выберем произвольный вектор
.
2. Вычислим вектор
и первое приближение собственного
значения
,
где
.
3. Вычислим вектор
и второе приближение собственного
значения
.
4. Если
то
– приближенное значение первого
собственного значения,
-
приближенное значение собственного
вектора. Если
то положить
,
и перейти к шагу 3.
Варианты заданий приведены в таблице 5 к лабораторной работе 6. Заданная точность вычислений ε = 10-3.
Лабораторная работа № 8 Интерполяция сеточных функций полиномами
Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [a, b] задано n+1 точек x0, x1, …, xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f (x) в этих точках:
f (x0) = y0, f (x1) = y1, …, f (xn) = yn, (8.1)
Требуется построить функцию F (x) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x). При использовании интерполяционной формулы Лагранжа функция F (x) является полиномом Ln (x) степени не выше n, который выражается следующей формулой:
(8.2)
или
(8.3)
Таким образом, для решения данной задачи необходимо организовать тройной циклический процесс, два цикла которого предназначены для вычисления одной точки полинома Ln (x).
Используя интерполяционную формулу Лагранжа, вывести в виде таблицы значения функции f (x) для точек x с заданным шагом, если известны значения функции f (xi) в узлах xi.
Блок-схема алгоритма для данного примера приведена на рис. 11, варианты заданий в табл. 6.
Рис. 11. Блок-схема алгоритма интерполирования функции.
Таблица
6. Варианты заданий к лабораторной работе
№ 8.
№ вар |
|
Значения i |
Отрезок интерполирования |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
xнач |
Xкон |
шаг |
||
1 |
xi yi |
1,3 0,3 |
1,5 2,2 |
2,4 6,4 |
3,8 5,9 |
5 1 |
6,8 -0,2 |
7,1 -1,3 |
8,2 0 |
1,5 |
8 |
0,5 |
2 |
xi yi |
1,5 2,4 |
2,1 5 |
2,9 6,9 |
3,1 4,7 |
3,4 2,5 |
3,8 -3,9 |
4,6 -1,4 |
5,2 0,6 |
1,6 |
5 |
0,2 |
3 |
xi yi |
1,7 5,7 |
6 6,4 |
7,4 6,5 |
10,5 4,2 |
12,8 2,1 |
15 5 |
16,1 9,8 |
19,8 16,6 |
4 |
18 |
1 |
4 |
xi yi |
0,06 0,6 |
0,15 2,7 |
0,22 -2,8 |
0,28 2,2 |
0,48 0,5 |
0,57 -7,8 |
0,7 -2,1 |
0,89 10,9 |
0,1 |
0,85 |
0,05 |
5 |
xi yi |
1,1 2,1 |
1,3 2,8 |
1,6 -4,4 |
2,1 3,6 |
2,2 -8,7 |
2,6 7,2 |
2,9 7,6 |
3 3,4 |
1,2 |
2,8 |
0,1 |
6 |
xi yi |
8,11 4,2 |
8,44 7,1 |
8,7 5,4 |
9,01 4 |
9,55 6,7 |
9,66 7,3 |
9,9 8,6 |
10,2 9,2 |
8 |
10 |
0,1 |
7 |
xi yi |
0,21 6,9 |
0,43 6,7 |
0,75 1,3 |
1 7,3 |
1,11 9,4 |
1,37 7,6 |
1,72 5,2 |
1,9 3,9 |
0,3 |
2 |
0,1 |
8 |
xi yi |
0,99 1,4 |
1,13 1,7 |
1,25 2,9 |
1,39 1,3 |
1,5 -1,6 |
1,62 -3,3 |
1,78 -9,6 |
1,88 -6 |
1 |
1,8 |
0,05 |
9 |
xi yi |
2,3 5,85 |
2,8 9 |
4,1 7,2 |
4,5 4,3 |
5,2 -0,1 |
5,9 -2,9 |
7 -1,8 |
7,9 0,1 |
2,6 |
7,2 |
0,2 |
10 |
xi yi |
0,77 11,6 |
0,9 7,3 |
0,94 3,1 |
0,96 1,7 |
0,99 0,3 |
1 -0,1 |
1,17 -2,6 |
1,3 0,5 |
0,9 |
1,2 |
0,02 |
11 |
xi yi |
0 9,4 |
0,25 6,7 |
0,35 4 |
0,5 2,5 |
0,75 0,8 |
0,95 3,3 |
1,2 5,6 |
1,5 7,1 |
0,1 |
1,3 |
0,1 |
12 |
xi yi |
-1 2,4 |
0 2,9 |
0,7 4 |
1,2 0,3 |
1,9 -5,2 |
4 -8,3 |
4,3 -9 |
4,9 3,2 |
0 |
4,5 |
0,5 |
13 |
xi yi |
0,5 9,9 |
1,2 5,3 |
1,7 -3,2 |
2,2 -6,5 |
3,1 -1,7 |
3,5 0,95 |
3,9 3 |
4,1 5,4 |
1 |
4 |
0,2 |
14 |
xi yi |
1,3 13,5 |
1,9 7,4 |
2,8 -0,7 |
3,7 -2,4 |
4,2 0,6 |
5,1 4 |
5,8 0,3 |
6,9 -0,4 |
2 |
6 |
0,2 |
15 |
xi yi |
0,3 7,2 |
0,9 5,8 |
1,1 4,4 |
1,8 0,2 |
2,1 2 |
2,8 3,4 |
3,4 -1,2 |
3,9 -3,7 |
0,6 |
3,4 |
0,2 |
№ вар |
|
Значения i |
Отрезок интерполирования |
|||||||||
16 |
xi yi |
0,1 -3,2 |
1,5 -6,8 |
1,8 -4,3 |
2,2 -2,2 |
2,9 1,3 |
3,4 5,1 |
4,5 4,2 |
5 7,3 |
0,5 |
4,5 |
0,5 |
17 |
xi yi |
1,2 6,5 |
1,8 -3,1 |
2,6 0,1 |
3,1 1,7 |
3,6 -4,1 |
4,5 0,2 |
5,6 8,7 |
6,2 7,3 |
2 |
6 |
0,2 |
18 |
xi yi |
0,5 7,3 |
1,3 6.2 |
2 3,7 |
2,6 3,9 |
3,9 5,6 |
5,2 3,3 |
6,5 5,5 |
7,3 8,5 |
1 |
7 |
0,5 |
19 |
xi yi |
-1,2 15,7 |
-0,6 12,1 |
-0,3 8,7 |
0,3 9 |
0,7 9,6 |
1 3,7 |
1,3 -5,8 |
1,9 -7,4 |
-1 |
1 |
0,1 |
20 |
xi yi |
3,2 4,4 |
4,3 2,5 |
5 -0,7 |
6,7 -6,8 |
7,5 -7,6 |
8,2 -3,3 |
9,1 6,5 |
10 8,5 |
4 |
9 |
0,5 |
21 |
xi yi |
1,2 6 |
1,31 3,4 |
1,35 2,9 |
1,43 3,2 |
1,5 3,8 |
1,69 3,1 |
1,82 6,5 |
2 25 |
1,3 |
1,8 |
0,05 |
22 |
xi yi |
1 9 |
1,4 4,1 |
1,8 -5,4 |
2,1 -6,2 |
2,7 -8,5 |
3,1 -5 |
3,4 -2,8 |
3,6 7,7 |
1,5 |
3,5 |
0,1 |
23 |
xi yi |
23 99 |
28 55 |
32 12 |
40 5 |
43 -3 |
50 10 |
57 21 |
62 44 |
25 |
60 |
5 |
24 |
xi yi |
0,9 20 |
0,96 47 |
1 37 |
1,12 16 |
1,25 -29 |
1,29 -37 |
1,35 -4 |
1,4 15 |
0,95 |
1,35 |
0,05 |
25 |
xi yi |
5 46 |
6 42 |
8 38 |
11 72 |
13 61 |
16 33 |
20 24 |
23 0 |
6 |
22 |
1 |
26 |
xi yi |
0 16 |
1,3 2 |
2,9 72 |
4 83 |
5,5 98 |
7,8 42 |
9 34 |
11 77 |
1 |
10 |
0,5 |
27 |
xi yi |
-1,2 1,2 |
-0,9 -0,6 |
-0,5 -2,2 |
-0,1 2,4 |
0,1 5,8 |
0,5 4 |
1 -2,7 |
1,2 -5,9 |
-1 |
1 |
0,1 |
28 |
xi yi |
1 70 |
9 28 |
15 2 |
23 9 |
30 41 |
31 37 |
33 23 |
36 18 |
5 |
35 |
2 |
29 |
xi yi |
2,8 15 |
4,1 6,4 |
6,6 1,2 |
7,5 -6,8 |
9,5 -14 |
10,3 -7,3 |
12 0,3 |
12,8 9,8 |
4 |
12 |
0,5 |
30 |
xi yi |
-1,2 0,5 |
-0,7 0,3 |
-0,4 -0,2 |
0,2 0,24 |
0,8 0,72 |
1,5 0,95 |
2,4 0,29 |
3 -0,5 |
-1 |
2,6 |
0,2 |