§5. Пространственное распределение поля и его использование при интерпретации аномалий

В результате съемки получают распределение гравитационного поля на поверхности наблюдений. Используя аппарат аналитического продолжения, можно находить распределение наблюденного поля выше и ниже этой поверхности. Полученная таким образом картина аномального поля в пространстве может существенно повысить результативность интерпретации, составить более полное предста­вление о телах и структурах, позволяет использовать методы интер­претации, для которых требуется знать распределение поля на нескольких уровнях, дает возможность строить вертикальные карты изолиний аномального поля.

Сравнение этих карт с вертикальными картами, построенными для тел правильной формы, позволяет найти некоторые элементы залегания возмущающего тела или же оценить достоверность замены реального объекта телом правильной формы. Аналитические выраже­ния изолиний для тел простейших геометрических форм можно получить, разрешив уравнения гравитационных эффектов этих тел относительно координат точки наблюдения.

Обозначим отношение гравитационного эффекта тела к соответ­ствующему постоянному коэффициенту (kМ, 2kλ, 2kμ), входящему в аналитические выражения этого эффекта, через р. Для разных тел получим следующие выражения.

Для шара из формул U_z(0, 0, 0) = kM , U_zz(0, 0, 0) = kM , и вертикального материального стержня, нижний конец которого уходит в бесконечность, из формул U_z(x, 0, 0) = , U_zz(x, 0, 0) = , имеем

p = = =

или

(x² + h²)^3/2 = ,

откуда

x² + h² = , x = . (55)

По этой формуле рассчитывают вертикальную карту изолиний U_z шара и U_zz вертикального материального стержня. Аналогично можно рассчитать и построить вертикальные карты изолиний и других тел.

Для аномалии U_z, создаваемой вертикальным материальным стержнем, имеем

p = = ,

x² + h² = . (56)

Э то выражение представляет собой уравнение окружности с цен­тром в точке (0, h) и радиусом 1/р.

Для U_z горизонтального материального стержня (кругового цилиндра), U_zz вертикальной материальной полосы и U_xz горизон­тальной полуплоскости имеем

p = = = = . (57)

Для U_xz вертикальной материальной полосы и U_zz горизонтальной полуплоскости

p = = - = - . (58)

Из формул (57) и (58) соответственно получаем

x² + h² - = 0, (59)

x² + h² + = 0. (60)

В ыражение (59) представляет собой уравнение окружности с центром в точке (0, 1/2р) и радиусом 1/2р (см. рис. а). Формула (60) также является уравнением окружностей с центрами в точках (±1/2р, р) и радиусом 1/2р (см. рис. б).

Для U_xz и U_zz горизонтального материального стержня (круго­вого цилиндра) имеем

p = = - , p = = (61)

или, вводя полярные координаты

x = ρcosφ,

y = ρsinφ, (62)

получаем

p = - , p = . (63)

Задаваясь р для различных φ, определяют ρ и строят вертикаль­ную карту изолиний.

Если гравитационный эффект тел (U_z вертикальной материальной полосы, U_xz вертикального контакта и вертикального пласта) выра­жается формулой вида

p = ln ,

где ρ₂ и ρ₁ - расстояние точки наблюдения до двух заданных точек, то изолинии элементов гравитационного поля таких тел представляют собой окружности с координатами центров

x_ц = 0, h_ц = (h₂ – h)cth p

и радиусами

r =

- для U_z материальной вертикальной полосы и U_xz вертикального контакта;

x_ц = dcth p, h_ц = h

и радиусами

r =

- для U_чя вертикального пласта.

Если же гравитационный эффект тела (U_z горизонтальной мате­риальной полосы, U_zz вертикального пласта и вертикального кон­такта) определяется формулой вида

p = θ,

где θ - угол, под которым из точки наблюдения виден отрезок, соединяющий две точки тела, определяющие его форму, то изолинии в этом случае представляют собой окружности с центрами в точках

x_ц = 0, h_ц = h – dctg p

и радиусами

r =

- для U_z горизонтальной материальной полосы и U_zz вертикального пласта;

x_ц = ctg p, h_ц = h

и радиусами

r =

- для U_zz вертикального контакта.

И наконец, для аномалии силы тяжести U_z материальной гopизонтальной полуплоскости имеем

x = h tg(p - ),

т. е. в этом случае изолинии представляют собой прямые, исходящие из точки с координатами (0, h).

Вертикальные карты изолиний элементов гравитационного поля для различных простейших тел показывают, что особые точки этих тел являются своего рода фокусами, к которым сходятся изолинии; причем характер изолиний в окрестностях особых точек зависит от формы тела. Изолинии аномалий силы тяжести U_z, шара, горизонтального цилиндра и аномалий U_zz и U_xz вертикальной материальной полосы и горизонтальной полуплоскости касаются друг друга в особой точке. Изолинии аномалий силы тяжести U_z горизонтальной материальной полосы, аномалий U_zz вертикального контакта и вертикального пласта пересекаются в особых точках. Изолинии аномалий U_z вертикальной материальной полосы и аномалий U_xz вертикального контакта и пласта стягиваются к особой точке.

Рассмотренные соотношения особых точек простейших тел с поведением изолиний позволяют использовать вертикальные карты для определения элементов залегания объектов. Например, если аномалия силы тяжести может быть уподоблена аномалии вертикального материального стержня, то, используя несколько пар точек x_l и x_k, в которых U_z(x_l) = U_z(х_k), строим направление радиуса окружности. Точка пересечения радиусов определит положение верхнего конца вертикального стержня.

Рассмотрим некоторые из этих способов применительно к двухмерным телам.

Еели практические кривые U_z, U_xz и U_zz могут быть уподоблены аналогичным теоретическим кривым соответственно горизонтального цилиндра, горизонтальной полуплоскости и вертикальной материальной полосы, бесконечной на глубину, то, выбрав также несколько пар точек x_д и x_k, в которых U_z(х_д) = U_z(x_k), построим радиусы, точка пересечения которых определит положение центра окружности. Проведем из этой точки окружности радиусом Оx_l. Линия касания семейства окружностей определит глубину центрf цилиндра (полуплоскости, материальной вертикальной полосы). Если же практические кривые U_z и U_zz можно уподобить теоретическим кривым соответственно U_z материальной горизонтальной полосы и U_zz вертикального контакта или вертикального пласта, то таким же образом найдем центры окружностей и, проведя окружности, получим две точки их пересечения, хорда, соединяющая эти точки, определяет положение тела.

Определение параметров тела способом характерных точек, в котором используется отношение некоторой доли максимального значения аномалии к полному значению в максимуме, можно распространить и на случай вертикального распределения поля. Для тел, имеющих одну особую точку (сфера, горизонтальный цилиндр, горизонтальная материальная полуплоскость, вертикальный мате­риальный стержень, нижний конец которого уходит в бесконечность), были получены следующие соотношения между абсциссой х_n части максимума и глубиной h в этой точке

x_n = x_nhh.

Это уравнение определяет семейство прямых, пересекающихся в особой точке. Таким образом, если поведение аномалии тела, име­ющего одну особую точку, известно на двух или более уровнях, то найти положение особой точки можно следующим образом. Через точки, в которых значения аномалии, выраженные в долях макси­мума аномалии, на заданной высоте одинаковы, проводим прямые линии, пересечение этих прямых и о пределяет положение особой точки. Для различных простых тел с одной особой точкой можно заранее построить лучевые палетки, которые позволяют быстро находить параметры подобных тел.

Использование этих палеток на практике весьма просто. Палетку накладывают на профиль таким образом, чтобы вертикальная линия палетки U_{z max} совпадала с максимальной ординатой аномалии. Затем палетку перемещают вдоль этой ординаты, добиваясь, чтобы лучи палетки пересекли линию профиля в точках с соответству­ющими значениями аномалии: луч U_{z 0.5 max} - в точке U_z = U_{z max}/2, луч U_{z 0.25 max} - в точке U_z = U_{z max}/4. При таком совмещений центр палетки совпадает с особой точкой на разрезе.

Глубину особой точки можно определить и аналитически по абс­циссам любых точек, в которых аномалия составляет n –ю долю от максимальной на этой высоте:

h = ∆h, (64)

где ∆h - разница уровней, на которых известны аномальные значения; x_n1 и ж_n2 - абсциссы, в которых значения поля составляют n-ю долю от максимального на данной высоте.

Для тел, имеющих две и более особые точки, аналогичные зависи­мости носят более сложный характер и получить их в общем виде трудною.

В частности, по аномалии U_zz вертикального пласта и U_z гopизонтальной материальной полосы было установлено

x²_1/2 = h² + d²,

по аномалии U_xz вертикального ласта

x²_max = h² + d²,

где h - глубина полосы верхней кромки пласта; d – половина горизонтальной мощности полосы (пласта).

Эти выражения представляют собой уравнения равнобочной гиперболы, действительная ось которой совпадает с верхней кромкой пласта (с материальной полосой), а величина оси равна горизонтальной мощности пласта (материальной полосы). Асимптотами гиперболы являются прямые х = ±h, пересекающиеся в центре верхней кромки пласта (в центре полосы).

Таким образом, если известны значения U_z, U_zz и U_xz на нескольких уровнях, то определить поло­жение особых точек пла­ста можно графическим или аналитическим путем. При графическом способе по значениям 0,5U_{zz max}, U_{xz max} или 0,5U_{z max} и по удаленным точкам гиперболы определяем ее асимптоты, которые пересека­ются в центре верхней кромки пласта (полосы) и таким образом указывают их глубину. Построив по асимптоте и одной из точек, принадлежащих гиперболе, ветвь гиперболы, найдем величину ее действительной оси, которая будет равна горизонтальной мощности пласта (полосы) 2d.

Чтобы получить h и d аналитическим путем, необходимо иметь распределение U_z, U_zz и U_xz на двух уровнях. Тогда по U_z и U_zz

(x_1/2)²₀ = h² + d²,

(x_1/2)²₁ = (h ± ∆h)² + d²,

по U_zz

(x_max)²₀ = h² + d²,

(x_max)²₁ = (h ± ∆h)² + d²,

Решая эти уравнения, находим

h = , d = , (65)

h = , d = , (66)

Для U_xz и U_zz вертикального контакта соответственно

h₁h₂ = x²_1/2, h₁h₂ = x²_max,

Для U_z материальной материальной полосы

h₁h₂ = x²_1/2.

Положив h₁ = h - d и h₂ = h + d, где h - глубина середины контакта или материальной полосы; 2d - амплитуда сброса (вертикальные размеры полосы), получим

h² – (x_1/2)² = d² и h² – (x_max)² = d². (67)

Эти выражения представляют собой уравнения разнобочных гипербол, действительная ось которых совпадает с линией вертикаль­ного сброса (материальной полосы), размеры действительной оси равны 2d. Асимптотами гиперболы являются прямые х = ±h.

Следовательно, определение положения особых точек сброса по U_xz и U_zz и вертикальной материальной полосы по U_z можно проводить так же, как определение особых точек вертикального пласта.

Рассмотренные способы определения особых точек тела (определе­ние положения самого тела), в которых используют пространствен­ное распределение аномалий, можно применять только в особо бла­гоприятных условиях, когда реальное тело достаточно точно аппрок­симируется простейшими геометрическими формами. В этом случае достаточно знать распределение функций на двух уровнях.

При белее сложной конфигурации тела определение положения особых течек тела связано с экстраполяцией аномального поля до особой точки. В этом случае, чтобы составить более полное пред­ставление о характере поведения поля в пространстве и более точно представить закон экстраполяции, приходится находить распре­деление аномалии на нескольких уровнях.