§2. Определение массы и координат центра тяжести тела по гравитационным аномалиям

Способы определения массы и координат центра тяжести тела по гравитационным аномалиям относятся к так называемым прямым методам интерпретации, т. е. методам, которые позволяют находить параметры тела без каких-либо предположений о его форме. Фор­мулы, связывающие указанные параметры тела с аномалиями, могут быть наиболее просто получены из формул Грина

.

При Q = const .

Положим, что Р = U есть гравитационный потенциал. Тогда, учитывая уравнение Пуассона

∆U = -4πkσ

получим формулу Гаусса

= -4πk = -4πkM. (18)

Интегрирование проводится по поверхности S, охватывающей аномальные массы М. В нашем случае ∂U/∂n задано на горизонталь­ной плоскости. Чтобы получить соответствующую формулу, поло­жим, что поверхность S представляет собой вертикальный круговой цилиндр, верхнее основание которого совпадает с земной поверх­ностью, а нижнее расположено глубже аномальной массы. Радиус цилиндра таков, что вся аномальная масса находится внутри ци­линдра. Тогда интеграл по поверхности можно представить в виде суммы трех интегралов: двух по основаниям цилиндра и третьего по его боковой поверхности. При увеличении радиуса цилиндр до бесконечности третий интеграл обратится в нуль, а первые два будут равны между собой. В этом случае

= 2πkM

или

М = . (19)

Интегрируя это выражение по частям, получаем формулы для определения массы через другие производные гравитационного потенциала:

М = -

и поскольку при ξ → ∞ имеем ξU_z → 0, то

М = - . (20)

Аналогично

М = - .

Для двухмерных тел, когда простирание тела параллельно оси у, справедливы равенства

= 2πkλ,

= -2πkλ. (21)

Полагая в формуле P = U, Q = ξ и Q = η, получаем соответственно

= 2πk = 2πkМх₀,

= 2πk = 2πkМу₀, (22)

где

х₀ = , у₀ =

- координаты центра тяжести тела.

Вертикальную координату z₀ центра тяжести найти сложнее. формулы, определяющие z₀, впервые были получены Г. А, Гамбурцевым. Вывод этих формул опускаем, укажем только, что, полагая в формуле Q = ζ, можно получить следующее выражение:

= -2πkМz₀. (23)

Применяя к этой формуле интегрирование по частям, вследствие чего под интегралом появятся производные различного порядка, получим формулы Г. А. Гамбурцева:

= = 6πkМz₀, (24)

= = -2πkМz₀,

Из формул (23) и (24) следует, что для вычисления координаты z₀ необходимо предварительно определить U_x, U_y, U_zz, U. Эти величины современной гравиметрической аппаратурой непосред­ственно измерить нельзя, но их можно вычислить по заданному на земной поверхности распределению аномальной силы тяжести.

Для определения координат х₀ и у₀ по U_xz и U_yz имеем формулы

= = -2πkМx₀,

= = -2πkМy₀,

Координаты центра тяжести двухмерного тела определяются формулами

= 2πkλx₀,

= -2πkλx₀, (25)

= = -2πkλz₀,

Если известна избыточная плотность σ, то, пользуясь формулами (19), (20), можно сначала определить массу тела, а затем найти его объем V = М/σ и вероятные размеры. В двухмерной задаче по формулам (21) вычисляем λ и, если известна плотность σ, узнаем площадь поперечного сечения тела S = λ /σ.

Таким образом, применяя прямые методы интерпретации, можно определять только аномальную массу и объем тела, но не его форму. Чтобы установить форму тела, необходимы дополнительные сведения. На основе таких сведений форму тела обычно находят способом подбора.

Выведенные формулы для определения массы и координат центра тяжести аномального тела предполагают интегрирование в бесконечных пределах по всей плоскости наблюдений. Практически аномалии силы тяжести и вторых производных гравитационного потенциала известны только в ограниченных по профилю или по площади пределах. Для вычисления интегралов в бесконечных пределах приходится вводить поправку за конечные пределы интегрирования, т. е. учитывать остаточный интеграл в интервале от r до +∞, где r - радиус окружности, в пределах которой проведено интегрирование. Поскольку с удалением от тела его аномалия все меньше и меньше зависит от формы тела, то можно положить, что начиная с некоторого радиуса г_n, аномалия U_z в первом приближении соответствует аномалии сферического тела массой М, т. е.

U_z(r_n) = kM ,

U_z(r) = U_z(r_n)( )^3/2 ≈ U_z(r_n) ,

так как h << г. Тогда

M = + .

Значение первого интеграла находят методами численного интегри­рования, второй можно вычислить точно. Тогда окончательно

M = + 2πU_z(r_n)r²_n). (26)

В случае двухмерной задачи также полагаем, что, начиная с не­которого расстояния ξ_n, аномалия совпадает с аномалией кругового цилиндра. Тогда

U_z(ξ) = U_z(ξ_n) ,

λ = ) =

(27)

Величина остаточного интеграла может быть значительна. Из этих графиков следует, что даже для сферы, наиболее локализованного тела, вычисленный интеграл U_z составляет только 55% от полного значения при убывании поля до 0,1 максимальной величины. По этим графикам можно ввести поправку в вычисленное значение М.

Другим фактором, затрудняющим использование формул (19) - (25), является их сильная зависимость от выбора «нормального» поля. Присутствие в аномалии постоянной составляющей искажает результат интегрирования.

При вычислении координат центра тяжести масс возникают прин­ципиально те же трудности, что и при определении массы тела. По­скольку координаты центра тяжести выражаются через отношение интегралов, то при вычислении этих интегралов в одних и тех же пределах остаточный интеграл можно не учитывать.

Естественно, что при интерпретации гравитационных аномалий наибольший интерес вызывает определение вертикальной координаты центра тяжести. Однако приемы вычисления ее по формулам разработаны недостаточно. Е. Г. Булахом предложены простые приемы приближенной оценки вертикальной координаты центра тяжести z₀ на основе вычисления интегралов (19) - (21) в конечных пределах.

Рассмотрим идею этого способа применительно к двухмерной задаче.

П усть имеется цилиндрическое тело с поперечным сечением S. Выделим внутри этого тела элементарный горизонтальный цилиндр с линейноq плотностью λ = σds и координатами центра тяжести х₀, z₀. Вертикальная составляющая притяжения элементарного цилиндра

dU_z(ξ, 0) = 2kλ(x₀, z₀) . (28)

Умножим обе части этого равенства на dξ и проинтегрируем в пределах от a до b:

= 2kλ(x₀, z₀) = 2kλ(x₀, z₀)(arctg - arctg ) = 2kλ(x₀, z₀)φ(x₀, z₀), (29)

где φ(x₀, z₀) - угол видимости отрезка аb из точки x₀, z₀.

Для цилиндрического тела имеем

= 2k . (30)

Во всем пространстве z >0 угол φ положителен, поэтому, если λ(x₀, z₀) не меняет знака по всей области интегрирования, то, применяя к правой части выражения (30) теорему о среднем, получаем

= 2k = 2k λ. (31)

Положим, что аномальное тело квазисимметрично. В этом случав абсцисса центра аномалии (точка ξ = ξ_mах, где U_z(ξ) = U_{x mах}) и проекция центра тяжести тела на ось х или совпадают, или находятся достаточно близко друг от друга. Расположим начало коорди­нат в этой точке. Из всей совокупности точек тела х₀, z₀ выберем точку (0, z₀), где φ(0, z₀) = , и назовем ее центром возмущающих масс. Если при этом отрезок ab расположить симметрично относительно начала координат, т. е. положить b - a = 2а, то

= 2arctg . (32)

Тогда для выражения (31) получаем

I_α = = 4kλarctg . (33)

Эта формула позволяет при известном λ, определить z₀:

z₀ = actg . (34)

Используя выражения (21), получаем

z₀ = actg , (35)

где

I_∞ = = 2πkλ.

Положим, что при изменении отрезка интегрирования 2а координаты точки (0, z₀) не изменяется. При таких допущениях Е. Г. Булахом получены простые формулы для приближенной оценки глу­бины залегания центра масс z₀ и избыточной плотности λ на единицу длины аномального тела.

Поместив начало координат в точке максимального значения аномалии, вычислим интеграл (33) при двух интервалах интегрирования: (-α₁ + α₁) и (-α₂ + α₂). Имеем

I_α1 = 4kλarctg ,

I_α2 = 4kλarctg . (36)

Для простоты вычислений интервал интегрирования выберем так, чтобы

I_α2 = 2 I_α1.

Тогда

arctg = 2arctg ,

откуда получаем

z²₀ = . (37)

Определив из этого выражения z₀, легко найдем избыточную плотность единицы длины аномального тела по формуле (33). Заметим, что соотношение (37) справедливо только для тел, аномалии от которых симметричны или квазисимметричны. Точное значение z₀ эта формула дает только для кругового цилиндра.