Розв'язування

Проаналізуємо задачу.

Відоме (дане):

1) відстань, пройдена теплоходом за течією річки, дорівнює відстані, пройденої по озеру ( у стоячій воді)

2) 9 год – час руху теплохода за течією річки; 3) 10 год– час руху теплохода по озеру; 4) 2 км/год – швидкість течії річки;

Невідоме: 1) власна швидкість теплохода (шукане невідоме);

2) швидкість теплохода за течією річки (допоміжне невідоме).

Для розв'язання задачі використовуємо залежність між відстанню, швидкістю та часом: відстань дорівнює добутку швидкості і часу.

Рівняння складаємо за схемою (планом):

1. через х позначимо шукане невідоме - власну швидкість теплохода;

2. виразимо через х допоміжне невідоме - швидкість теплохода за течією;

3. складемо два вирази, що набувають рівних значень - відстань, пройдену теплоходом по озеру і відстань за течією річки;

4. утворюємо рівняння із складених виразів.

Складаємо рівняння:

1. Нехай х км/год – швидкість теплохода по озеру ( у стоячій воді);

2. (х +2) км/год - швидкість теплохода за течією;

3. 10·х км – відстань по озеру;

9 · (х + 2) км – відстань за течією річки;

4. утворюємо рівняння: 10х = 9(х +2);

Розв'язуємо рівняння:

10х = 9(х +2); 10х = 9х +18; 10х – 9х = 18; х = 18.

18 км/год. – швидкість теплохода по озеру ( у стоячій воді).

Перевірка.

18 + 2 = 20 (км/год) - швидкість теплохода за течією річки;18· 10 = 180 (км) – відстань по озеру;20· 9 = 180 (км) – відстань за течією.

Відстані рівні, що відповідає умові задачі.

Відповідь. 18 км/год – швидкість теплохода по озеру.

Узагальнемо розглянуті приклади розв’язування задач.

Основними етапами розв’язування задач за допомогою рівнянь є:

• аналіз задачі;

• складання рівняння;

• розв’язання рівняння та обчислення шуканих чисел, значень величин;

• перевірка (чи відповідають знайдені числа умовам задачі).

На етапі аналізу задачі потрібно:

• У тексті задачі виділити умову і вимогу ( запитання);

• за умовою і вимогою встановити невідомі числа чи величини, про які йде мова у задачі, та відомі числа чи значення величини, які дані в умові і зв'язані з невідомими;

• виділити основну умову, за якою складають рівняння;

• коротко записати задачу (невідоме і відоме) у стовпчик, рядок або у вигляді таблиці чи за допомогою рисунка;

На етапі складання рівняння зручно дотримуватись такої схеми (плану):

• Одне з шуканих невідомих (число, значення величини) позначити через х;

• виразити через х інші невідомі (шукані, допоміжні)

• скласти вираз, значення якого відоме, або вирази, які набувають рівних значень при шуканому невідомому;

• утворити з даних виразів рівняння;

Розв'язують рівняння дотримуючись загальної схеми (плану) розв'язування. Після знаходження коренів рівняння встановлюють інші невідомі шукані числа і перевіряють. чи відповідають вони умовам задачі.

Запитання і завдання на початкове розуміння

1. 1) Назвати 4 етапи розв’язування задач за допомогою рівнянь.

2) З яких двох основних частин складається будь – яка задача?

3) Як називають числа, величини, про які йде мова в задачі, а числові значення яких не дані?

4) Як називають невідомі ( числа, величини), які знаходять за вимогою задачі?

2. Доповнити запис схеми (плану) складання рівняння.

   1. Одне із шуканих невідомих позначити через _______;

   2. Виразити через х __________ __________________;

   3. Скласти ____________, значення якого відоме, або два ______________, що набувають рівних значень;

   4. Сполучити вираз і число або два вирази знаком ________.

3. 1) Середня швидкість потяга становить x км/год. Яку відстань він проїде за 4 години? а) км; б) 4x км; в)  км.

2) Середня швидкість автомобіля 90 км/год. Яку відстань він проїде за х год? а) км; б) 90x км; в)  км.

3) Швидкість човна у стоячій воді позначено через x км/год. Знайти швидкість човна проти течії річки, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год. а) (x + 3) км/год; б) (3 – x) км/год; в) (x – 3) км/год.

4) Швидкість човна у стоячій воді позначили через x км/год. Вказати швидкість човна за течією річки, якщо швидкість течії річки дорівнює 2,5 км/год. а) (x – 2,5) км/год; б) (x + 2,5) км/год; в) (2,5 – x) км/год.

5) Швидкість моторного човна в стоячій воді позначено через x км/год, а швидкість течії дорівнює 2 км/год. Вказати відстань, яку пройшов човен за течією річки за 4 год. а) 4(x + 2) км; б) 4(x – 2) км; в) 4x км.

6) Швидкість моторного човна в стоячій воді позначили через x км/год, а швидкість течії дорівнює 1,5 км/год. Знайти відстань, яку пройшов човен проти течії річки за 3 год. а) 3x км; б) 3(x + 1,5) км; в) 3(x –1,5) км.

4. За текстом задачі і коротким її записом доповнити записи складання рівняння.

Задача 1. Сума трьох чисел дорівнює 135. Друге число в 4 рази більше від першого, а третє на 15 менше від першого. Знайти ці числа.

Невідомі відоме

? 1 число

? 2 число в 4 рази більше від першого;

? 3 число на 15 менше від першого;

Складаємо рівняння:

3. х – перше число;

4. __________ - друге число;

__________ - третє число;

5. ____________________________ - сума трьох чисел;

6. Складаємо рівняння _____________________________.

Задача 2. Три робітники виготовили 45 деталей. Другий робітник виготовив у 2 рази менше, ніж перший і на 5 деталей менше, ніж третій. Скільки деталей виготовив кожний робітник?

Складаємо рівняння:

1. х деталей виготовив другий робітник;

2. _______ деталей виготовив перший робітник;

_______ виготовив третій робітник;

3. _______ виготовили три робітники разом;

4. утворюємо рівняння ___________________________________

Задача 3. На одній ділянці в 3 рази більше кущів малини, ніж на другій. Коли з першої ділянки пересадили на другу 20 кущів, то на обох ділянках кущів малини стало порівну. Скільки кущів малини було на кожній ділянці спочатку?

Складаємо рівняння:

1. х – кущів малини було на другій ділянці;

2. ________ кущів малини було на першій ділянці;

3. ________ стало кущів малини на першій ділянці;

________ стало кущів малини на другій ділянці;

4. Складаємо рівняння _________________________

Задача 4. У двох корзинах було порівно яблук. Після того як з першої корзини взяли 50 яблук, а з другої – 90, то у першій корзині яблук стало втричі більше, ніж у другій. Скільки яблук було в кожній корзині спочатку?

Складаємо рівняння:

1. х – було яблук в кожній з корзин;

2. _________ стало в першій корзині;

3. _________ стало в другій корзині;

_________ потроєна кількість яблук у другій корзині;

4. утворюємо рівняння ______________________________

Задача 5. За дві години мотоцикліст проїжджає таку саму відстань, що і велосипедист за 5 год. Знайти швидкість велосипедиста, якщо вона на 30км/год. менша від швидкості мотоцикліста.

Складаємо рівняння:

1. х км/год – швидкість велосипедиста;

2. __________ км/год - швидкість мотоцикліста;

3. __________ км – відстань, що проїхав велосипедист;

__________ км – відстань, що проїхав мотоцикліст;

4. утворюємо рівняння _____________________________

Задача 6. За 4 год за течією річки човен проходить таку саму відстань, як і за 7 год проти течії. Знайти власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки 2,5 км/год.

Складаємо рівняння:

1. х км/год – швидкість човна в стоячій воді;

2. _________ км/год – швидкість човна за течією;

_________ км/год – швидкість човна проти течії;

3. _________ км – відстань за течією;

_________ км – відстань проти течії;

4. утворюємо рівняння _________________________

5. 1) За 5 год човен за течією річки проходить такий же шлях, як і за 6 год у стоячій воді. Швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Для знаходження власної швидкості човна її позначено через x км/год. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.

а) 5x = 6(x + 2); б) 5(x + 2) = 6x; в) 5(x + 2) = 6(x – 2).

2) Відстань між двома пристанями човен, рухаючись за течією річки, проходить за 6 год, а рухаючись назад проти течії, він проходить її за 8 год. Швидкість течії річки дорівнює 2,5 км/год. Для знаходження власної швидкості човна її позначили через x км/год. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.

а) 6(x – 2,5) = 8(x + 2,5); б) 6(x + 2,5) = 8(x – 2,5); в) 6(x + 2,5) = 8x.

3) На одній ділянці кущів малини в 5 разів більше, ніж на іншій. Коли з першої ділянки пересадили на другу 22 кущі малини, то на обох ділянках кущів стало порівну. Для встановлення кількості кущів малини, що була спочатку на другій ділянці, її позначили через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі. а) 5x + 22 = x – 22; б) 5x – 22 = x + 22; в) 5x + 22 = x + 22.

4) Одне число утричі більше від іншого. Після того як перше число зменшили на 20, воно стало удвічі більше від другого. Для знаходження меншого з чисел його позначили через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі. а) 3x – 20 = 2(x + 20); б) 3x + 20 = 2x; в) 3x – 20 = 2x.

5) Одне число у 6 разів більше від іншого. Після того як перше число зменшили на 40, а друге збільшили на 30, одержали рівні числа. Для знаходження меншого з чисел його позначено через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.

а) 6x + 40 = x – 30; б) 6x – 40 = x + 30; в) 6x – 40 = x – 30.

6) В одній цистерні міститься 50 т бензину, а в іншій — 7 т. Після того як x т бензину перелили з першої цистерни в другу, у першій стало бензину удвічі більше, ніж у другій. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.

а) 2(50 – x) = 7 + x; б) 50 – x = 2(7 + x); в) 50 – x = 7 + x.

ВІДТВОРЕННЯ І ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ

Уроки 3 - 6. Розв'язування задач середнього, достатнього і високого рівнів. Основні результати

Зразки розв'язування задач

Середній рівень

Задача 1. Одне з додатних чисел у 7 разів більше за друге, а сума цих чисел дорівнює 88. Знайти ці числа.

Розв'язання

Тип задачі: знаходження чисел за їх відношенням і сумою.

Складаємо рівняння:

1. Позначаємо через х друге число;

2. 7х – перше число;

3. 7х + х – сума чисел;

4. утворюємо рівняння: 7х +х = 88.

Розв'язуємо рівняння:

7х + х = 88; 8х = 88; х = 11.

11 – друге число; 11· 7 = 77 – перше число.

Перевірка.77 + 11 = 88;

Відповідь. 77 – перше число; 11 – друге число.

Задача 2. Одне з чисел на 17 більше, ніж друге, а їх сума дорівнює 53. Знайти більше з цих чисел.