Запитання і завдання на повторення

1. Назвати правило знаходження невідомого компонента, за яким обчислюють корінь рівняння:

1) 5х = – 40; 2) х – 45 = – 13; 3) 4х = –20;

4) х:5 = – 37; 5) 30 – х = 26; 6) х : 7= – 6.

2. Як знайти:

1) невідомий доданок; 2) невідомий множник; 3) невідоме зменшуване;

4) невідомий від’ємник; 5) невідомий дільник; 6) невідоме ділене.

3. Розв’язати рівняння:

1) 4х = – 32; 2) х – 4 = – 13; 3) 7+х = –15;

4) х:5 = – 37; 5) 14 – х = – 22; 6) х : ( –12) = – 4

4. Навести приклад рівняння, яке розв’язують за правилом знаходження: 1) невідомого доданка; 2) невідомого множника; 3) невідомого зменшуваного; 4) невідомого від’ємника; 5) невідомого дільника; 6) невідомого діленого.

5. Розв’язати рівняння, послідовно застосовувючи два правила знаходження невідомого компонента:

1) (х + 3)∙( –2) = – 8; 2) (х – 7)∙3 = – 24; 3) (х + 5):∙2 = – 12;

4) 4х+3 = – 9; 5) – 2х – 5= 7; 6) 5:(х –1) = – 1.

Урок 2. Основні властивості і правила перетворення рівнянь

Властивості числових рівностей поширюються і на рівняння. Їх застосування до рівнянь значно спрощує розв’язування як складних, так і відомих простих рівнянь. На основі цих властивостей розв’язують рівняння, в яких обидві частини містять невідоме.

Властивість множення

Розглянемо рівняння Це рівняння має один корінь, який за правилом знаходження невідомого діленого дорівнює добутку –12∙5 і дорівнює –60. Такиий самий результат ми одержимо, якщо за властивістю числових рівностей помножимо обидві частини даного рівняння на число 5:

У всіх випадках, якщо дане рівняння помножити на будь-яке число, що не дорівнює 0, то утвориться рівняння, що має ті самі корені.

Властивість множення рівнянь не поширюється на число 0. Якщо помножити обидві частини будь-якого рівняння, що не має коренів чи має один або декілька коренів, воно перетвориться у рівняння, що має безліч коренів. Наприклад, якщо помножити рівняння 3х= –21, яка має один корінь – число –7, то утвориться рівняння 3х∙0= –21∙0 або 0∙х= ∙0, яке має безліч коренів.

Викладену вище властивість рівнянь формулюють у вигляді правила.

Правило (множення рівняння на число).

Обидві частини рівняння можна помножити на одне й те саме число, що не дорівнює 0.

Звичайно, застосовуючи дане правило, рівняння множать на число, яке спрощує це рівняння.

Наприклад:

1. Розв’язати рівняння Помножимо обидві частини рівняння на число 7: маємо ,тобто х= –63.

2. Щоб розв’язати рівняння –0,01х = – 4,2 помножимо обидві частини його на число –100:

–0,01х∙(–100)= – 4,2∙(–100); –0,01∙(–100)∙х= 420; х = 420.

Найпростішими рівняннями, які зручно розв’язувати за правилом множення, є рівняння виду , де а≠0: ; ; .

Щоб розв’язати рівняння виду , де а≠0, достатньо обидві його частини помножити на число а. Коренем рівняння , де а≠0, є число ав.

Наприклад: 1. Розв’язати рівняння:

1) ; х = –7 ∙5; х = –35; 2) ; х = –6 ∙9; х = –54;

3) ; х = –8 ∙(–0,3); х = 2,4.

Запитання і завдання на початкове розуміння

1. Доповнити запис властивості множення рівняння:

1. Якщо помножити обидві частини рівняння на одне й те саме число, відмінне від 0Ю то утвориться рівняння, яке має: а) інші корені; б) ті самі корені.

2) Обидві частини рівняння можна помножити на одне й те саме число, відмінне від _______ .

2. Назвати рівняння, в яке перетвориться рівняння:

1) після множення на число 5; а) х = 12; б) х = 12∙5; в) х = 12:5;

2) після множення на число 7; а) х = –3∙7; б) х = 3∙7; в) х = – 3:7;

3) 0,1х = – 9 після множення на число 10;

а) х = –9; б) х = – 9∙10; в) х = 9∙10;

4) 0,01х = – 2,3 після множення на число 100;

а) х = –2,3∙100; б) х = 2,3∙100; в) х = –2,3;

5) після множення на число 3;

а) х+2 = 4∙3; б) х+2 = – 4∙3; в) х = – 4∙3;

6) після множення на число 7;

а) 2х = –12∙7; б) 2х–1= – 12:7; в) 2х–1= – 12∙7.

3. Записати рівняння, в яке перетвориться рівняння:

1) після множення на число 9;

2) після множення на число 0,1;

3) 0,1х = – 27 після множення на число 10;

4) 0,01х = – 19 після множення на число 100;

5) після множення на число 3;

6) після множення на число 0,1.

Властивість ділення.

Розглянемо рівняння 5∙х = – 120. Дане рівняння має один корінь. Поділимо обидві частини рівняння на число 5: 5∙х:5 = – 120:5. За властивістю ділення добутку на число ліва частина рівняння дорівнює 5:5 ∙х = х. Отже, маємо х = – 120:5; х = – 24 – корінь даного рівняння.

У всіх випадках, якщо дане рівняння поділити на будь-яке число, що не дорівнює 0, то утвориться рівняння, що має ті самі корені.

Викладену вище властивість рівнянь формулюють у вигляді правила.

Правило (ділення рівняння на число).

Обидві частини рівняння можна поділити на одне й те саме число, що не дорівнює 0.

Звичайно, застосовуючи дане правило, рівняння ділять на число, яке спрощує це рівняння.

Наприклад: 1. Розв’язати рівняння:

1. 7∙х = – 420. Ділимо обидві частини рівнянння на число 7:

7∙х :7= – 420:7; 7:7∙х = – 60; 1∙ х = – 60; х = – 60.

2. –3∙х = – 96. Ділимо обидві частини рівнянння на число

–3: –3∙х :(–3)= – 96:(–3); –3:(–3)∙х = 32; х = 32.

3)

1∙ х = – 60; х = – 60.

Найпростішими рівняннями, які зручно розвязувати за правилом ділення, є рівняння виду ах = в, де а≠0: ; ; .

Щоб розв’язати рівняння виду ах = в, де а ≠ 0, достатньо обидві його частини поділити на число а.

Наприклад: 1. Розв’язати рівняння: 1) 5∙х = 7.

2) –3∙х = – 2.

3) –0,2х= 4. х = 4:(–0,2) = –(4:0,2)= – (40:2)= –20; х = –20