Загальні відомості про рівняння
Рівності х+76=13; 3х= –21; 5х+1=х+3 містять невідоме число, яке позначено буквою х. Як відомо такі рівності називають рівняннями. Повторимо відомі вже знання про рівняння та їх способи розв’язування.
Означення. Рівнянням називають рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою.
Буква, що позначає у рівнянні невідоме число, називають невідомим. Кожне рівняння складається з двох частин: лівої частини – виразу,який записаний до знака рівності і містить невідоме, та правої частини – виразу з невідомим, записаним після знака рівності, або числа. У рівнянні 5х–3=7 лівою частиною є буквений вираз 5х–3, а правою частиною – число 7. У рівнянні 5х+1=х+3 обидві частини є буквеними виразами.
Якщо у рівнянні 5х–3=7 замість букви х підставити число 2, воно перетвориться у правильну числову рівність 5·2 – 3=7 (7=7). Число 2 називають розв’язком або коренем цього рівняння. Число є єдиним числом, при якому рівняння перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад, якщо х= 4, то маємо неправильну числову рівність 5·4–3= 7 (17=7).
Означення. Розв’язком (коренем) рівняння називають число, при підставлянні якого замість невідомого рівняння перетворюється в правильну числову рівність.
Існують рівняння, які мають один корінь, два корені і більше, а також такі, що не мають коренів.
Наприклад:
Рівняння х+3= –7 має тільки один корінь, оскільки існує тільки одне число, яке є різницею чисел –7 і 3: число – 10.
Рівняння (х+5)(х–3)=0 має два корені: –5 і 3.
Розв’язком рівняння 0·х=0 є будь-яке число, оскільки добуток будь-якого числа і числа 0 дорівнює 0.
Рівняння 0·х=5 не має коренів, оскільки при будь-якому значенні х добуток 0·х доівнює 0.
Розв’язати рівняння значить знайти всі його корені (розв’язки) або встановити, що їх не має.
Запитання і завдання на повторення
Як називають рівності, які містять невідоме число, позначене буквою?
Навести приклад рівняння, в якого: 1) ліва частина містить невідоме, а права частина – число; 2) обидві частини містять невідоме.
Назвати, яке з наведених чисел а) – б) є коренем даного рівняння:
1) х+5 = 12; а) – 7; б) 7;
2) х+5 = – 3; а) – 8; б) 8;
3) х – 7 = – 12; а) –5; б) 19;
4) 4х = – 12; а) –3; б) 3;
5) – 3х = 30; а) –3; б) 3;
6) .х:10 = –4; а) 40; б) –40.
4. Що значить розв’язати рівняння ?
а) Знайти хоча б один його корінь;
б) знайти всі його корені або встановити, що їх немає.
5. Назвати, скільки коренів має рівняння:
1) 5х
= – 13; 2) 0х
= – 13; 3) 0х
= 0; 4) (х–1)(х+5) = 0; 5)
;
6)
.
6. Навести приклад рівняння, яке:
1) має один розв’язок; 2) два розв’язки;
3) не має розв’язків; 4) має безліч розв’язків.
Розв’язування рівнянь на основі залежностей між компонентами дій
Рівняння, в яких ліва частина є буквеним виразом, що містить одну дію, а права частина є числом, розв’язують на основі правил залежності між компонентами дій.
Наприклад:
Розв’язати рівняння х+7= –20. У даному рівнянні х є невідомим доданком. За правилом знаходження невідомого доданка: щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок. Отже, х= –20 –7, х= –27.
Розв’язок рівняння х–13= –25 також можна знайти за правлом знаходження невідомого доданка, розглядаючи вираз х–13 як суму х+(–13). Отже, х= –25 –(–13)= –25+13. х=–12.
За правилом знаходження невідомого множника знаходимо корінь рівняння х·12= –36. х = –36:12; х = –3.
Послідовно застосовуючи правила залежності між компонентами дій, можна розв’язувати рівняння, в яких права частина є числом, а ліва частина – вираз, що містить дві дії і більше.
Наприклад: Розв’язати рівняння 5х–17= – 47. За правилом знаходження невідомого зменшуваного знаходимо: 5х = –47+17, 5х = –30. За правилом знаходження невідомого множника маємо: х = – 30:5, х = – 6.