Урок 2. Окремі випадки множення Властивість числа 0
Якщо хоча б один з множників дорівнює 0, то і добуток дорівнює 0.
а∙0=0 0∙а=0
Наприклад: 1)
–2,3∙0=0; 2)
; 3)
0∙(–7,3)=0; 4) 0∙(–0,5)=0
Правильним є і обернене твердження.
Якщо добуток двох чисел дорівнює 0, то хоча б один із множників дорівнює 0 (перший множник або другий або обидва множники).
Наприклад:
1. Якщоа∙b=0 і а≠0, то b=0. 2. Якщо х∙у=0 і у≠0то х=0.
3. Знайти а, якщо –1,7∙а=0.
Відповідь: а=0.
Знайти х, якщо х∙(–0,5)=0.
Відповідь х=0.
Властивість числа 1
Якщо один із множників дорівнює 1, то добуток дорівнює другому множнику.
а∙1=а 1∙а=а
Властивість числа -1
Якщо один із двох множників дорівнює –1, то їх добутком є число, протилежне до другого множника.
а∙(-1)=а -1∙а=-а
Наприклад:
1. а) 7∙(–1)=-7;
б)
; в)5,7∙(–1)=
–5,7
2. а)(–1) ∙29=
–29; б)
; в)–1∙12,41=
–12,41
Запитання і завдання на початкове розуміння
1.Чому дорівнює добуток двох множників, якщо один з них дорівнює:
1) 0; 2) 1; 3) –1?
а) Другому множнику; б) числу, протилежному до другого множника; в) нулю.
2. Доповнити запис:
1) с∙0=_____; 2) 0∙с=_____;3) с∙1=_____; 4) 1∙с=_____; 5) –1∙с=____;6) с∙(–1)=____.
3. В якому випадку добуток двох чисел дорівнює:
1) нулю; 2) одному з цих чисел;
3) числу, протилежному до одного з цих множників?
Назвати число, якому дорівнює добуток (4-6):
4. 1) 0∙(–3);2) –7∙0; 3)
0,5∙0; 4) 0∙(–2,5);5)
;6)
.
5. 1) –10∙1;2) –23∙1;3)
–7,5∙1;4) 1∙(–9,7);5)
;6)
.
6. 1) –1∙(–5); 2) 7∙(–1); 3) –1∙(–2,3);
4) (–12,7)∙( –1); 5)
; 6)
.
Вказати, при якому значенні а правильна рівність (7-9):
7. 1) а∙(–2)=0; 2) –3∙а=0; 3) а∙(–2,7)=0;
4)
; 5)
; 6)
8. 1) а∙(–10)= –10; 2) –15∙а= –15; 3) 9,8∙а=9,8;
4) а∙(–9,3)=-9,3; 5)
–6,7∙а=
–6,7; 6)
.
9. 1) 9∙а= –9; 2) –7∙а=7; 3) –5,4∙а=5,4;
4) – 0,3∙а=0,3; 5)
; 6)
7,3∙а= –7,3.
Урок 3. Властивості множення раціональних чисел
Як відомо, для додатних чисел (цілих, дробових) виконується переставна, сполучна і розподільна властивості множення. Ці властивості поширюються і на всі раціональні числа (додатні числа, від’ємні і число 0).
Переставна властивість
Від переставляння множників добуток не змінюється: а∙b=b∙а
Для додатних і від’ємних чисел властивість справджується в силу того, що від переставляння множників їх знаки і модулі не змінюються.
Наприклад:
1) –2∙4= 4∙(–2); –8= – 8.
2) –7∙(–11)= –11∙(–7); 77=77.
Сполучна властивість
Добуток декількох чисел не зміниться, якщо два множники, що стоять поруч, замінити їх добутком: а∙b∙с=а∙(b∙c)
Сполучну властивість можна сформулювати у вигляді правила.
Правило. Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього числа.
Проілюструємо справедливість властивості на прикладах.
1) –5∙4∙(–3)= –5∙(4∙(–3)), бо –5∙4∙(–3)= –20∙(–3)=60 і –5∙(4∙(–3))= –5∙(–12)=60.
2) –7∙(–12)∙(–5)= –7∙(–12∙(–5)), бо –7∙(–12)∙(–5)=84∙(–5)= –420 і
–7∙((–12)∙(–5))=–7∙60= – 420.
З переставної і сполучної властивостей множення випливає, що множення двох і більше чисел можна виконувати в будь-якому порядку, переставляючи множники і об’єднуючи їх в групи.
Наприклад: добуток трьох множників а, b, с можна знайти шістьма способами: a∙b∙c=a∙c∙b=b∙a∙c=b∙c∙a=c∙a∙b=c∙b∙a.
Звичайно, при обчисленні добутків декількох множників вибирають найзручніший спосіб, який полегшує обчислення. Під час множення декількох чисел зручно спочатку встановити знак добутку, а потім перемножити модулі чисел. Оскільки пара двох від’ємних чисел у добутку дає додатне число, то якщо у добутку парна кількість від’ємних множників, то добуток усіх множників буде додатним числом. Якщо у добутку відмінних від 0 чисел непарна кількість від’ємних множників, то добуток буде від’ємним числом.
Правило (знака добутку декількох множників).
Якщо у добутку декількох чисел, відмінних від 0, усі числа додатні або кількість від’ємних множників парне число, то добуток є додатним числом. Якщо у добутку декількох множників кількість від’ємних множників непарна, то добуток є від’ємним числом.
Наприклад:
1. Добуток –1∙(–2) ∙(–3) ∙(–5) ∙6 є додатним числом, бо містить парну кількість від’ємних множників.
2. Добуток всіх цілих від’ємних чисел від –1 до –100 включно є додатним числом (містить 100 від’ємних множників).
3. Добутки 4∙5∙(–9); –7∙3∙(–9) ∙(–11) і –5∙(–10) ∙20∙40∙(–60) ∙(–100) ∙(–120) є від’ємними числами, бо містять непарне число від’ємних множників.
4. Добуток усіх цілих від’ємних чисел від –1 до –51 включно є від’ємним числом (непарна кількість від’ємних множників).