Предикаты хорошо согласуются аппаратом правил. Пусть имеется правило
ЕСЛИ X отец Y и Y отец Z, ТО X дед Z.
В предикатном представлении это правило имеет вид
Отец (X, Y) отец (Y, Z) дед(X, Z),
т.е. фактически записана операция импликации. Используя ее свойства получим
.
В силу этого свойства очень часто вывод получает вид
n
Ai G (3.51),
i = 1
где Ai - предпосылка (аксиома, данные, факты), G – цель, а выражение (3.51) – формула, предложение, теорема.
Таким образом, логика предикатов первого порядка хорошо согласуется с методом продукций.
Выражение (3.51) может быть представлено в виде истинности
n _
Ai G, (3.52)
i = 1
называемом фразой Хорна.
Процесс рассуждения для формул (3.52) – доказательство теоремы. В процессе доказательства, как указывалось, возникают такие проблемы.
1. Проблема выводимости.
2. Проблема извлечения результата.
Для больших наборов правил (тысяча и более) необходимо иметь математический («компьютерный») путь решения этих проблем. Для его изложения уточним и введем ряд дополнительных понятий и определений.
Предикат реализуется
на конечном множестве U
наборов входных аргументов. Множество
U
называют универсумом,
любой из этих наборов – интерпретацией.
Поскольку результатом действия предиката
является 0 или 1, то интерпретации можно
разделить на два класса: W,
в котором предикат W
истинен, и
- где предикат W
ложен.
Замечание:
вместо W
часто используется название самого
предиката. Пусть предикат имеет имя P.
Множество истинности обозначается как
P,
а вместо
используем
.
Предикат или его отрицание называют литералом.
В решении проблемы выводимости используются следующие понятия:
1. Если формула (3.52) справедлива на всех интерпретациях U, то она является общезначимой (тавтология)
2. Если формула (3.52) ложна на всех интерпретациях, то она невыполнима (противоречива).
3. Формула (3.52) необщезначима, если она не является общезначимой.
4. Формула (3.52) непротиворечива, если она не является противоречивой
Два предиката F и G эквивалентны (F G), если они совпадают на множестве истинности (ложности). Для выводимости формула (3.51) должна быть общезначима.
В решении проблемы выводимости первоначально использовали формулу (3.52). Однако в прикладных математических операциях выяснилось, что проще доказать ложность отрицания цели.
В этом случае вместо выражения (3.52) используют выражение вида:
n _
Ai G. (3.53)
i = 1
Квантор выступает как одна из разновидностей предиката.
Заметим, что квантор общности не накладывает ограничений на свойства предикатов, в то время как квантор существования имеет серьезные ограничения по области действия: логическая зависимость справедлива только на подмножестве. В связи с этим с кванторами надо обращаться аккуратно. Например, справедливо выражение
(X)(F(X)G(X)) = (X)F(X)(X)G(X). (3.54)
Если в (3.54) заменить конъюнкцию на дизъюнкцию , то справедливость теряется.
Аналогично справедливо
(X)(F(X)G(X)) = (X)F(X)(X)G(X) (3.55)
При замене в (3.55) дизъюнкции на конъюнкцию справедливость теряется.
Для кванторов справедливы законы де Моргана:
,
(3.56)
.(3.57)
Для того чтобы оперировать квантором существования, используют процедуру перехода от квантора существования к квантору общности. Это процедура называется сколемизацией.
Иллюстрируем ее на примере.
(x)(y) P(x, y),
x={1, 2}элементы множества x,
y={1, 2}элементы множества y,
отсюда множество интерпретаций U={1,1; 1,2; 2,1; 2,2}. Пусть предикат имеет значения P(1, 1) = 1; P(1, 2) = 0; P(2, 1) = 0, P(2, 2) = 1. Введем функцию
и получим
(x)(y)P(x, f(x)),
где f(x) – функция Сколема, в рамках которой квантор существования ведет себя как квантор общности. Очень часто квантор общности опускают при написании предикатов.
Заметим, что в предикатах используется предваренная (префиксная) нормальная форма: кванторы находятся слева от системы предикатов, которая называется матрицей.
Все дальнейшие теоретические выкладки проводятся для так называемой фразовой формы, представляющей собой конъюнктивную нормальную форму, где знаки конъюнкций связывают дизъюнкты. Такая форма носит название стандартной предикатной формы. Иногда в ней знаки конъюнкции опускаются и выписываются только дизъюнкты.
Переход от исходной предикатной формы к стандартной предикатной форме осуществляется поэтапно:
1) исключение импликаций по формуле эквивалентности;
2) замена отрицаний с помощью формул де Моргана;
3) замена квантора существования на квантор общности с использованием сколемизации;
4) перенесение дизъюнкций внутрь скобок дизъюнктов и приведение формулы к клаузальной (от clause - предложение) форме;
5) вынесение кванторов общности перед предикатами и их опусканием.
Перейдем к изложению решения проблем экспертных систем.
Проблема выводимости. Доказательство общезначимости (противоречивости) при решении проблемы выводимости в любом методе базируется на двоичном семантическом дереве (рис. 4.5). При построении дерева используются правила.
1. Каждая дуга/узел помечена литералом - предикатом или его отрицанием.
2. Из одного узла выходят две дуги, помеченные литералами.
3. Никакая ветвь не содержит двух противоположных литералов.
4. Никакая ветвь не содержит более одного вхождения одного литерала.
Если множество формул конечно, то соответствующее им семантическое дерево конечно. Каждому его узлу соответствует частичная интерпретация, сопоставляющая истинностные значения некоторым элементам.
Конечное семантическое дерево полно, если каждый его лист, т.е. конечная висячая вершина, соответствует некоторой всюду определенной интерпретации.
Формула является выполнимой, если, по крайней мере, для одного из листьев семантического дерева получено значение «истина». Следовательно, алгоритм выполнимости формул и выводимости результата является переборным и решает задачу для конечного семантического дерева.
Если в предикатах используются кванторы и функции, то семантическое дерево может быть бесконечным. Тогда требуется доказать: если некоторые свойства справедливы на части дерева, то они справедливы и на всем дереве.
Для решения проблемы выводимости сформулированы методы представления, из которых наибольшее распространение получил метод резолюции Робинсона (рис. 3.14).
Каждый дизъюнкт в этом методе называют фразой. Две фазы могут быть резольвированы друг с другом, обращаясь в пустой дизъюнкт, если одна из них содержит положительный n-местный литерал, а вторая негативный n-местный литерал того же предиката.
Абстрактная переменная резольвирует с любой конкретной переменной, принимая значения этой конкретной переменной.
Пусть имеется система правил (дизъюнктов)
(3.58)
(3.59)
S(b) (3.60)
(3.61)
Необходимо определить, достижима ли цель P(a).