§ 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1

б) у =

01-110. Найти производные функции:

а) у = (3х² − 5/х²+ 1)⁵,

101.

в) у = 2^{arctg х} ∙arcsin 2х, г) у = lncos 6х д)

а) у = (4х⁶-5 – 7)³

б)

102.

в) у = е^{sin х} ∙ arctg 4х г) у = sinln 7х д)

а) у = (х⁶ + 3/x⁴- 8)⁸

б) у =

103.

а) у = (3х²–2 + 5)⁶,

2х² – ctg х

б) у =

в) у = 4^{arctg x} ∙ cos 6х г) у = ln arcsin 2х д)

1 04.

в) у = е^{arcsin х} ∙ cos 4х, г) у = arctg ln 5х д)

а) у = (2х⁴ + – 7)⁴,

б) у=

105.

у = 5^6х ∙ arcsin 5х, г) у = lnsin 7х д)

2х + etg x

б) у =

а) у = (5х² – 3 – 2)⁴,

106.

а) у = (х³ – 3/ х⁸ + 4)²,

б) у=

в) у = е^{sin х} ∙ arccos 3х, г) у = arctg ln 7х д)

107.

в) у = 4^{tg х} ∙ arctg 3х, г) у = lncos 4х д)

а) у = (3х⁶ + 2 – 8)⁵,

ctgх - cosх

б) у =

1 08.

в) у = е^х² · arcsin 2х, г) у = arctg ln 5х д)

б) у =

cos 2х

а) у = (2х⁴ – 3 – 1)⁴,

1 09.

в) у = 5^аrctgх · sin 4х, г) у = ln arcsin 3х д)

а) у = (3х⁵ –1/х⁴+ 7)³,

б) у =

110.

в) у = е^{arcsin х} · ctg 3х г) у = arctg ln 8х д)

111-120. Найти производные второго порядка от функций:

111. у = cos3х · е^sinх у = lnarctg 2x

112. у = 2^3х · tg2х у = cosln 5х

113. у = е^tgх · ln2х у = cos

114. у = 2^8х · tg3х у = arcsin ln4х

115. у = е^tgх · sin4х у = sin ln5х

116. у = 3^ctgх · arcsin (х²) у = lnsin 6х

117. у = е^сtgх · cos6х у = sin ln2х

118. у = 4^cosх · arctg2х у = lncos 5х

119. у = е^х² · tg7х у = arcsin ln2х

120. у = 2^sinх · arcsin2х у = lncos 7х

121-130. Найти производные указанного порядка от функций:

121. у⁽¹⁵⁾ для у = cos5х 122. у⁽⁵⁾ для у = (e^x + e^–x )/2

123. у⁽⁹⁾ для у = sin7х 124. у⁽⁷⁾ для у = sin(1–2х)+ 3^2х

125. у⁽⁸³⁾ для у = e^2x 126. у⁽⁵⁾ для у = cos7x + lnx

127. у⁽⁷¹⁾ для у = 5^–3x 128. у⁽¹⁴⁾ для у = log₅ x

121. у⁽⁵⁾ для у = (e^x – e^–x )/2 122. у⁽¹¹⁾ для у = х^1/2

lim

х→а

lncosх

lim

х→о х

131-140. Найти пределы, раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя.

1 31. а) б)

х³ + х

lin

х→∞ х⁴ – 3х² + 1

в)

e^х – 1

lim

х→о sin х

e^αх – cos αх

lim

х→о e^βх – cos βх

132. а) б)

(х² + 1)⁵⁰

lim

х→∞ (х + 1)¹⁰⁰

в)

х – arctg х

lim

х→о х³

e^а – 1

lim

х→о √ sin вх

133. а) б)

х⁴ – 5х

lim

х→∞ х² – 3х + 1

в)

х – sin х

lim

х→о х – tg х

π– 2 arctg х

lim

х→∞ ln (1 + 1/х)

134. а) б)

х² – 1

lim

х→∞ 2х⁶ + 1

в)

1

а^х – в^х

lim

х→о с^х – d^х

х^m – а^m

lim

х→а хⁿ – аⁿ

35. а) б)

1 + х – 3х²

lim

х→∞ 1 + х² + 3 х³

в)

e^х² – 1

lin

х→о cosх –1

e^х – e^-х

lim

х→о sinх · cosх

136. а) б)

х³

lim – х

х→∞ х² – 1

в)

1

а^х – в^х

lim

х→о х ·

cos х · ln (х – а)

lim

х→а ln (e^х – e^а)

37. а) б)

х³ х²

lim –

х→∞ 2х²–1 2х²+1

в)

e^х – e^–х – 2х

lim

х→о х – sinх

e^tgх – e^х

lim

х→о tgх – х

138. а) б)

х³ – 100х² + 1

lim

х→∞ 100х² + 15х

в)

ln sin 2х

lim

х→о ln sin х

e^х – 1 – х

lim

х→о sin² 2х

139. а) б)

1000 х³ + 3 х²

lim

х→∞ 0,001 х⁴ – 100 х³+1

в)

1

ln (х – 1)

lim

х→1 ctg πх

ln х

lim

х→о ln sin х

40. а) б)

х

lim

х→∞ ln(1 + x)

в)