9. Динамическое описание ис

Функционирование сложной системы можно представить как совокупность двух функций времени: одна описывает внутреннее состояние системы, а другая - выходной процесс системы, т.е. воздействие системы на внешнюю среду (входного процесса системы).

Предположения о характере функционирования систем гласит, что в каждый момент времени t T система может находиться в одном из возможных состояний z Z. Здесь Z множество состояний системы.

Пример:

1. Если рассматривать электромагнитное реле как логический элемент, то достаточно проанализировать всего два состояния:

   • z₁ – контакт замкнут;

   • z₂ – контакт разомкнут.

2. Состояние системы, которая выпускает изделия – характеризуется числом изделий z(t), выпущенных к данному моменту времени t, z - это совокупность некоторых неотрицательных чисел.

В общем случае будем предполагать, что состояние Я рассматриваемой системы описывается некоторым набором объектов z₁, z₂, …, z_N, таких, что z_i Z_i, где Z_i - заданные множества i=1,2,…,n.

Рассмотрим прямое произведение

Если z_i – множество точек числовой прямой, то можно рассматривать как множество точек плоскости; - как множество точек трехмерного пространства. А множество точек из - как множество точек n–мерного пространства. Множество Z называется пространством состояния системы (на рис.9.1 заштрихованная область):

Рис.9.1. Пространство состояний системы

Множество Z характеризуется координатами , где z₁ – множество точек интервала (0, ) на оси Z₁; z₂ - множество точек интервала (0, ) на оси Z₂.

Произведение , есть множество точек прямоугольника с вершинами (0,0), (0, ), ( , ), ( ,0). Из рис.9.1 видно, что множество Z является подмножеством множества точек .

Состояние системы Z(t) в времени t есть точка или вектор пространства с обобщенными координатами z₁, z₂, …, z_N.

В некоторых случаях рассматривается также пространство U=T , точками которого являются упорядоченные пары (t, ). Такое пространство называют фазовым пространством системы

(t, )=(t, z₁, z₂, …, z_N).

9.1. Модели ис в терминах «вход-выход»

На вход системы могут поступать входные сигналы , где - множество входных сигналов системы. Входной сигнал, поступающий в систему в момент , обозначается .

В общем случае предполагается, что входной сигнал описывается набором объектов ( ) , где - заданное множество.

Прямое произведение , называется пространством входных сигналов. Здесь - элементарные оси, входной сигнал представляет собой точку пространства , описываемую координатами .

Будем предполагать , что множеству принадлежит и пустой сигнал , означающий отсутствие сигнала в момент , если .

Рассмотрим отображение , сопоставляющее каждому некоторый (отображение ). Обозначим через множество моментов времени (включено), такое , что для любого справедливо . Отображение будем называть входным процессом системы , а совокупность упорядоченных пар для всех ( где ) - входным сообщением.

Чтобы задать конкретный входной прочес , достаточно указать соответствующее ему входное сообщение .

Сужение отображения на множество (пересечение множеств и , состоящее из общих элементов) будем называть отрывком входного сообщения, поступающим в систему за полуинтервал , и обозначать .

Множество должно удовлетворять требованию, связанному с сочленением входных сообщений. Пусть и два сообщения из множества . Пусть далее где , тогда отрывки сообщений и можно рассматривать как отрывок .

Для конечного множества , входное сообщение имеет вид: .

Система способна выдавать выходные сигналы , где - множество выходных сигналов системы. Выходной сигнал, выдаваемый системой в момент , обозначается .

Если выходной сигнал описывается набором характеристик , такой , что , , то произведение называется пространством выходных сигналов системы. По аналогии с входным процессом вводиться понятие выходного процесса , а также определяется выходное сообщение и отрывок выходного сообщения .