Дополнение к автоматной части

Основные определения и понятия за полный курс Теории автоматов.

Определение 1.1:

Автомат- набор из 5 объектов, А=(Х,S,Y,h,f), где X,Y,S-произвольные множества(0)

h: SXS (1.1)

f: SXY

множества: X- входной алфавит, S- множество состояний, Y- выходной алфавит, h- функция переходов , f- функция выходов

Мы считаем, что А работает в дискретные моменты времени tN (номера тактов работы), t=1,2,..

в момент t А находится в состоянии s_tS, а на вход подается символ x_tX. Тогда А в этом такте выдает на выход символ y_tY и переходит в состояние s_t+1S, где s_t+1=h(s_t,x_t) , y_t=f(s_t,x_t) - рекуррентные соотношения(1)

Таким образом: если на вход подается: x₁,…x_n=xXⁿ- входная последовательность, а А находится в s₁S- начальном состоянии, то на выходе появится: yYⁿ=y₁,…,y_n- выходная последовательность и А проходит последовательность состояний:

sSⁿ⁺¹=s₁,…,s_n+1 причем y_t,s_t+1- определяются по рекуррентным соотношениям(1).

S_n+1- финальное состояние. =>входная последовательность x переводит состояние s₁ в s_n+1:

A_s1(x)= y₁,…,y_n=y; => XY (1.2)

h(s₁,x)=s₁,…,s_n+1=s; => S*XS (1.3)

h(s₁,x)=s_n+1; =>S*XS (1.4)

Виды автоматов:

1.Если h, f не зависят от входных символов x, то вместо отображений (1.1) от 2-х переменных можно считать, что:

h: SS f: SY Такой автомат А=(S, Y, h, f) называется автономным (или- автомат без входов)

2. Если f(SX)=1- на выходе всегда один символ, то такой автомат А=(X, S, h) называется автоматом без выходов.

Если удалить из любого автомата f и Y, то получаем автомат без выходов.

3. Автомат со считыванием состояния: A=(X, S, S, h, e), где e(s, x)=s; fe: SXS

4. A=(S, h); h: SS

5. Автомат без памяти: A=(X, Y, f); f: XY; S=1

Определение: Если для произвольного автомата А функция выхода f(s, x) не зависит от входной переменной x : h: SXS; f: SY, то автомат называется автоматом Мура.

Определение:Если функция переходов h(s, x) не зависит существенно от входной переменной x, то автомат – внутренне автономный. Т.е. h: SS; f: SXY.

Определение:Рассмотрим произвольный автомат:Автоматное отображение автомата А при начальном состоянии sS – произвольное отображение А_s: XY, определяемое равенством (1.2), т.е. А_s(x)- выходная последовательность автомата А при начальном состоянии s и подаче на вход произвольной последовательности x

Очевидны следующие свойства:1.xXⁿ A_s(x)Yⁿ – т.е. это отображение сохраняет длины. 2. x₁, x₂X выполняется равенство: A_s (x₁,x₂)=A_s (x₁)A_h(s,x1) (x₂), т.е. говорят, что автоматное отображение начало переводит в начало.

Определение:Множество всех автоматных отображений автомата А обозначим

[A]={A_s sS}

^lA_s- ограничение автоматного отображения длины s на последовательности l.

^lA_s: X^lY^l; ^l[A]={^lA_ssS}

Определение: Автоматы А и L- эквивалентные: AL, если множество их автоматных отображений совпадает, т.е. [A]=[L] (в частности отсюда следует, что у них совпадают как входные алфавиты X, так и выходные Y.).Если считать А черным ящиком, то эквивалентные автоматы работают одинаково. Чаще всего под ключом понимают состояние автомата или часть состояний.

Определение: Частичная функция функции переходов автомата А- всякая функция h_x с фиксированным значением xX, т.е. функция, полученная фиксацией x. h_x: SS (h(s, x₀)); (В общем случае- это преобразование множества S). Всего частичных функций: X. Для любой последовательности x=x₁,…,x_n определим h_x: SS; h_x(s)=h(s,x)=h_xn…h_x1(s)- композиция

Определение: Полугруппа автомата А- полугруппа преобразований множества S, порожденная всеми частичными функциями переходов: G(A)=<h_x  xX>={h_x  xX}; e- тождественное преобразование= h- тождественное преобразование множ-ва S.

Определение: А-регулярный (подстановочный) автомат, если  частичная функция переходов этого автомата h_x, xX- подстановка мн-ва S => т.к. S< то полугруппа регулярного автомата- группа.

Примеры автоматов:

1. Задержка на 1 такт: X=S=Y; h(s, x)=x; f(s, x)=s

Покажем, что:  автомат добавлением задержки на 1 такт на вход или выход, сводится к автомату Мура.

При этом: А_s(x₁,…,x_n)=y₁,…y_nA_(y,s)(x₁,…,x_n)=y,y₁,…,y_n-1/

2. Регистр сдвига длины n над произвольным множеством Z с функцией обратной связи  и выходной функцией - это автомат А: R(, )=(X, Z^m, Y, h, f), где : ZⁿXZ; : Zⁿ⁺¹Y; h((z₁,…,z_n),x)=(z₂,…,z_n,(z₁,…,z_n,x));

f((z₁,…,z_n),x)= (z₁,…,z_n,(z₁,…,z_n,x)).

В каждом такте содержимое ячеек сдвигается вверх: от z_n к z₁; содержимое z₁ при этом теряется.

 рекуррентная последовательность- то же самое, что и регистр R();

Теорема 1.3 (Критерий регулярности регистра сдвига)

Регистр R(, ) ненулевой длины- подстановочный  - биективна по 1-ой переменной.

Определение1.4: A=(X, S, Y, h, f)- подавтомат А, т.е. АА, если: XX ; SS ; YY; h,f- ограничения h, f на множестве SXSX; Т.е. h(s,x)=h(s,x); f(s,x)=f(s,x); (Если X=X, Y=Y, то подавтомат- внутренний);

из определения =>  подавтомат А однозначно определяется своими алфавитами X, S, Y. Обратное, вообще, неверно.

Критерий существования подавтомата А с заданными алфавитами: для  X, S, Y  подавтомат с такими алфавитами  h(SX)S , f(SX)Y (1.10)

Определение: sS- k-достижимое, k0 из множества SS если  sS, x X^k: ss под действием x

(Достижимое состояние, если k- опускается, т.е. для некоторого k оно достижимо).

Определение: s,s- связные, если они совпадают или  последовательность: s=s₁,…,s_n=s, n2, в которой s_i, s_i+1- соседние i=1,n-1 т.е.  неориентированный путьS - S'. => бинарное отношение связности - отношение эквивалентности на множ-ве S;

=> разбиение множ-ва S на пересекающиеся классы связных состояний: S=;

Легко показать, что для алфавитов (X, S_i, Y)- выполняется критерий (1.10) подавтоматности.

Эти d подавтоматов- компоненты связности А (т.е. внутренние подавтоматы).

Определение: Автомат А- связный- если  два его состояния связны, т.е. d=1.

А- сильно связный, если любое его состояние достижимо из любого, т.е.  ориентированный путь: S - S'

Определение1.5: Гомоморфизм А ---> ^b A=(X, S, Y, h, f)- это тройка отображений (, , ):

: XX  sS, xX => (h(s,x))=h((s), (x)) (1.11)

: SS : (f(s,x))=f((s), (x)

: YY

Обозначение: (, , ): AA

Определение: Если XX, YY и ,- тождественные вложения, т.е. (x)=x, (y)=y, то это внутренний гомоморфизм: : AA ( гомоморфизм сводится к внутреннему гомоморфизму)

Определение: Если все , , - сюръективны (инъективны), то гомоморфизм- сюръективный (инъективныйвложение)

Определение:Если гомоморфизм- сюръективный и инъективный, то это изоморфизм (т.е. переобозначение алфавитов).

Определение: Образ автомата А при гомоморфизме- (, , ): АА- это подавтомат автомата А с алфавитами ((X), (S), (Y)) Т.е. для них (1.10) выполнены (следует из определения гомоморфизма)

Определение(1.7): Конгруэнция автомата А- это тройка бинарных отношений эквивалентности (₁₂₃) соответственно на множествах X, S ,Y, т.е. ₁X², ₂S², ₃Y², для которых выполняется импликация: если x₁x, s₂s, то h(s,x)₁h(s,x) и f(s,x)₃f(s,x)

Определение: Если (O, ₂, O), где О- эквивалентность, т.е. тождество, то конгруэнция- внутренняя

Определение: Ядро гомоморфизма =(, , ); AA- тройка эквивалентностей:

Ker=(₁, ₂, ₃): x₁x  (x)=(x); s₂s  (s)=(s); y₃y  (y)=(y); Из (1.11) следует, что Ker- конгруэнция автомата А.

1)гомоморфизм- 

2)конгруэнция- Ker

3)фактор-автомат- A/Ker

4)естественный гомоморфизм- _Кек

5)Ядро гомоморфизма- Ker

Определение: Гомоморфизм по состояниям- АА, где XX,- это всякое отображение :SS: (h(s,x))=h((s),x)

(В частности,  внутренний гомоморфизм- гомоморфизм по состояниям, но не наоборот, т.е. это понятие обобщает понятие внутреннего гомоморфизма)

Определение: Конгруэнция на состояниях автомата- это  бинарное отношение эквивалентности S² (на множ-ве S) : ss => h(s,x)h(s,x),  s,x. (=> Конгруэнция на состояниях обобщает понятие внутренней конгруэнции).

Определение: Конгруэнтное разбиение множ-ва S автомата А- это всякое разбиение множ-ва S: для  xX; SR S₂R: h_x(S₁)S₂

Способы задания автоматов:

A=(X, S, Y, h, f)- произвольный фиксированный автомат Функций f- Y^{SX}

1.Табличный способ

2. Графический:

3.Структурный способ

4. Задание автоматным отображением

Автоматы, у которых входные алфавиты совпадают- сравнимые.

Определение 2.1: Состояния sS, sS- l-эквивалентные- т.е. ss, если выходные последовательности при начальных состояниях s и s, соответственно, всегда совпадают на длине l: A_s()=A_s() X^l; Если ss для l, то s и s- эквивалентны, т.е. s~s;

Определение 2.3:Фактор-автомат: =A/~=(X, S/~, Y, , )- приведенная форма автомата А, а число (А)=S/~-приведенный вес А (число нетривиальных состояний А). Если (А)=S ‘~’=’’=0, то А- минимальный (приведенный)

(у которого нет различных эквивалентных состояний). Число неэквивалентных состояний- число отображений автомата- S/~=[A]; S/~=^l[A]

Определение 2.6: Min lN₀: s,sS из условия ss следует: s~s (т.е. =~)- длина (степень) различимости: (A).

Диаметр сильносвязного автомата- число d(A)=max{l(s₁,s₂)s₁,s₂S}, Где l(s₁,s₂)- минимальная длина входной последовательности, переводящей s₁s₂ (l(s₁,s₂)=0), т.е. минимальный путь из вершины s₁ в вершину s₂ в графе автомата А.

Определение 2.12: A=(X, S, Y, h, f)- представляется автоматом А=(X, S, Y, h, f) (или А представляет А), если XX, sS sS: A_s()=A_s() X*

Если А представляет А и А представляет А, то А~А, т.е. автоматы работают одинаково. X=X; Yf(S,X)=f(S,X)Y, т.е. Y=Y- т.е. подразумеваем для эквивалентных автоматов.

Определение 2.15: A и A- l-эквивалентные: AA- если sS sS: ss и наоборот, АА  ^l[A]=^l[A]

Определение 2.30: Состояния sS, sS- эквивалентные с задержкой k: ss, если для любых входных последовательностей ₁X^k и X^* выходные последовательности этих автоматов: A_s(₁,), A_s(₁,)- совпадают, начиная с (k+1) знака или, другими словами: h(s, ₁)~h(s,₁), ₁X^k.

Определение 2.32: Минимальное l, при котором =- задержка эквивалентности А- (А).

Определение 2.37:Минимальное kN₀: для А ==-задержка совпадения А: (A)

Определение 2.38:Гомоморфизм (, , ): AA- изоморфизм с задержкой. Если , - биекции (как у любого изоморфизма), - сюръективно и sS ^-1(s) все состояния в полном прообразе совпадают с задержкой.

Определение 4.14: A- левый (правый) обратный к А- если sS sS: A_s(A_s())=,X^* (A_s (A_s())=, yY^*)

Определение: обратимый  если он имеет и левый и правый обратные.

Определение: инъективный (сюръективный) если все его автоматные отображения инъективны (сюръективны).

Определение: биективный, если он инъективный и сюръективный.

Определение 4.22: А- автомат без потери информации (БПИ), если s,sS; , X^* справедлива импликация:

s~s, h(s)=h(s), A_s()=A_s() => = ;

Определение 4.23: Состояние s автомата А- состояние с потерей информации, если  2 различные входные последовательности  , для которых h(s)=h(s), A_s()=A_s();

Определение: Автомат – автомат БПИ-1, если он инъективен, т.е. s~s, A_s()=A_s() => = (т.е. в определении 4.22 удалить 2-ую эквивалентность).

Определение: А- автомат БПИ-2, если в определении 4.22 удалить 1-ую эквивалентность.

Определение 4.32: : Y^bX^a+1Y; a,bN₀ определим автомат: M()=(X, Y^bX^a, Y, h, f), h((y₁,…,y_b,x₁,…,x_a),x)=(y₁,…,y_b,(y₁,…,y_b,x₁,…,x_a,x),x₂,…,x_a,x);

f((y₁,…,y_b,x₁,…,x_a),x) =(y₁,…,y_b,x₁,…,x_a,x). В частности, при b=0 M()=R₀()- проходная линия задержки длины a. При а=0 M()=R()

Определение 4.33: Функция памяти А- всякая функция : sS, =x₁,…,x_tX^t, t1+max{a,b}; A_s()=y₁,…,y_t => y_t=(y_t-b,…,y_t-1,x_t-a,…,x_t) => Память автомата А- число m(A)=max{a,b};

Если , то m(A)= иначе m(А)<; Если m(A)<, то А- автомат с конечной памятью

Определение 4.37: Входная последовательность X^*- диагностическая для А, если s,sS справедлива импликация: A_s()=A_s() => s~s и последовательность - установочная, если A_a()=A_s() => h(s, )~h(s,) (эквивалентность финальных).

Определение 4.43: Длина единственности- l(A)- минимальное lN₀:  входная последовательность X^l- диагностическая для А. l(A)=, если таких l не существует.

Определение: Если в КС были искажены k знаков, то в случае, когда в последовательности число искажений >k => произошло распространение искажений, иначе- искажения не распространились.

] : X^*Y^*, сохраняя длины, т.е. (X^l)Y^l, l (,)- количество номеров несовпадающих членов в этих последовательностях, т.е. (,)= {i=x_i x_i }, ,X^l ((,) - метрика Хемпинга)

Определение4.59 : Отображение , сохраняющее длины слов- распространяющее искажения не более чем в k раз, если lN; ,X^l выполняется неравенство: ((),())k*(,) ; Если k=1 => - отображение, нераспространяющее искажений.

Шифр колонной замены- порожденный множ-вом подстановок {g_l,tl,tN_, tl}, g_l,tG(X)S_x- (симметрическая группа подстановок), называется отображение : X^*X^*, определяемое по формуле:

(x₁,…,x_l)= g_l,1(x₁),…,g_l,l(x₁); (()())=(,)

Шифр перестановки- порожденный множ-вом подстановок {p_llN}, p_lS_l, преобразование : X^*X^*, определяется равенством: (x₁,…,x_l)=,…,; ((),())=(,); {=> - тоже не распространяет искажений}

Определение 4.65: А- не распространяющее искажений по , если для sS, lN, =(x₁,…,x_l), =(x₁,…,x_l)X^l: x_ix_i, i выполняется неравенство: (A_s(),A_s())(,) {При =x² => автомат А- нераспространяющий искажений}

Самовосстановление в автоматах: - процесс перехода этого автомата из произвольных 2-х или более состояний в эквивалентные (т.е. в один и тот же класс эквивалентности) под действием одной и той же входной последовательности. Чем больше вероятность такого события- тем устойчивее автомат к случайным сбоям (во входной последовательности, в функции перехода…)

Определение: Матрица переходных состояний k-грамм- матрица вида B_k=(P(), которая определяется так: - матрица размера S^kS^k ; - строки и столбцы- занумерованы векторами состояний длины k: ^k={}; - на пересечении строки =(s₁,…,s_k) и столбца =(s₁,…,s_k) стоит вероятность: P()=X^-1{xXh(s_i,x)=s_i)} i,k.

Определение: (A): = -l₀, a); -, б); - задержка самовосстановления в А

Определение 4.68: А- самовосстановления с задержкой n, если h(s,)~h(s,) s,sS, Xⁿ, причем, n- минимальное такое. Здесь n- задержка самовосстановления автомата А.

Определение 4.71: Два автомата: A и A с одним и тем же входным алфавитом- эквивалентные с задержкой n: AA, если для s автомата А s автомата А: ss и наоборот.

Определение: Внутреннее самовосстановление- (т.е. вместо ~,=)- это процесс перехода из 2-х состояний: s, s в одинаковые под действием одной и той же : h(s,)=h(s,)

Определение 4.75 (из определения 4.68): А- внутренний самовосстанавливающийся с задержкой n, если h(s,)=h(s,) s, sS; Xⁿ, причем: n- минимальное такое, что: =1- все состояния А совпадают с задержкой и =n – задержка совпадения.