Вопрос 34. Автоматы самовосстановления. Теорема о сведении автомата самовосстановления к проходной линии задержки, её единственность. Автоматы внутреннего самовосстановления.

Самовосстановление в автоматах - процесс перехода этого автомата из произвольных 2-х или более состояний в эквивалентные (т.е. в один и тот же класс эквивалентности) под действием одной и той же входной последовательности, т.е. h(s_i,)~h(s_j,), i,j. Чем больше вероятность этого события- тем устойчивее автомат к случайным сбоям во входной последовательности, и в функции перехода, кроме того если эта вероятность слишком велика, то при необходимости обеспечить к экземпляров автомата, можно не устанавливать их в одно и тоже начальное состояние т.е. можно обойтись без принудительной синхронизации. ПустьkN, lN₀ и =(s₁,…,s_k)S^k обозначим: P_l()=X^-1{X^lh(s_i, )~h(s_j,)}, i,j; =S^-k-вероятностьk-самовосстановления наl-ом шаге автомата А- вероятность того, чтоkсостояний при подаче последовательности длиныl перейдут в эквивалентные (равномерное распределение). Очевидно, что , причем если ==>=1,k; т.к.P_l()P_l+1(),l,s => => =P^(k)(A)- вероятность k-самовосстановления А.

Определение: матрица переходных состояний k-грамм- матрица видаB_k=(P(), которая определяется как: - матрица размераS^kS^k; -строки и столбцы занумерованы векторами состояний длиныk: ^k={}; - на пересечении строки =(s₁,…,s_k) и столбца =(s₁,…,s_k) стоит вероятность: P()=X^-1{xXh(s_i,x)=s_i)} i,k т.е. элементы матрицы- вероятность того, чтоперейдет в за один такт.] -вектор, тогда =B_k=,l; P₀()= 0, если i,j: s_is_j и =1, еслиi,j s_i~s_j, тогда, если - нормированная сумма всех координат этого вектора, то:==>=,=,ll₀. Из последнего следует, что выполняется одно из следующих свойств: а) <<…<==P^(k)(A) илиб) <<P^(k)(A), l , т.е. либо последовательность стабилизируется, либо нет.

Определение: (A) = или l₀, тогда a), или , тогда б); -- задержка самовосстановленияв А.Легко показать, что (A)=(A),k2. Пример автомата с длиной задержки самовосстановления: Автомат Мура: X=Y={0,1}.(A)=

Определение: А-самовосстановления с задержкой n, еслиh(s,)~h(s,)s,sS, Xⁿ,причем,n-минимальное. Здесьn-задержка самовосстановленияавтомата А.

Утверждение: ДляА; n,kN₀, k2 следующие свойства равносильны: а) А-самовосстановления с задержкой n; б) <=1 (=0);в) вероятность (A)=1,(A)=n;г) =1; (A)=n;д) память входа автомата равнаn;

Доказательство: очевидноиз определений.

Утверждение: Дляавтомата-самовосстановления А выполняются следующие свойства: а) - связный автомат;б) Задержка эквиваалентности, задержка самовосстановления и память входа всегда совпадают. Пример: ‘Aвтомат самовосстановления’: R₀()(X,Y,S=Xⁿ)- проходная линия задержки (ПЛЗ),еслиt-минимальный номер существенной задержки, т.е.=(x_t,x_t+1,…,x_n), то задержка самовосстановления =(n-t+1).

Определение: Два автомата: A и A с одним и тем же входным алфавитом- эквивалентные с задержкойn: AA, если дляs автомата Аs автомата А: ss и наоборот.

Теорема:(описание автоматов самовосстановления):Пусть A=(X, S, Y, h, f)- автомат самовосстановления с задержкой не болееn. Определим функции: _A,n: Xⁿ⁺¹Y; _A,n: Xⁿравенствами:_A,n(x₁,…,x_n+1)=f(h(s,( x₁,…,x_n)),x_n+1); _A,n(x₁,…,x_n)=[h(s,( x₁,…,x_n))]_~, для x₁,…,x_n иs, тогда: а)_А,n- функция памяти А;б) АR₀(_A,n)- т.е. дляавтомата-самовосстановления можно найти эквивалентную ПЛЗ;в) _A,n: R₀(_A,n) - внутренний гомоморфизм, образ которого совпадает с ()^[c]- существенным подавтоматом А.

Доказательство: Прежде всего заметим, что определения отображения_А,n, _A,n- корректны, т.к. не зависят от sв силу определения, также из определения => еслиt1 ,x₁,…,x_n+tX, sS и еслиA_s(x₁,…,x_n+t)=y₁,…,y_n+t, тоy_n+i=_А,n(x_i,…,x_n+i) i, => по определению функции памяти а)- выполнено, кроме тогосостояние автомата А эквивалентно с задержкойnсостояниюR₀(_А,n), т.е. выполнено б); в): пусть h, f- функции переходов и выходов =>x₁,…,x_n => h(_A,n(x₁,…,x_n),x_n+1)=h([h(s, x₁,…,x_n+1)]_~,x_n+1)=[h(s,x₁,…,x_n+1)]_~=_A,n(x₂,…,x_n+1),

f(_A,n(x₁,…,x_n),x_n+1)=f(h(s,x₁,…,x_n),x_n+1)=_А,n(x₁,…,x_n+1)=> -гомоморфизм. т.к. гомоморфный образ сильносвязного автомата сильносвязен, а ПЛЗ- сильносвязна =>все состояния в образе- существенны, т.е._A,n(Xⁿ)^[c] Наоборот: Пусть [s]_~( )^[c], т.е.s-существенное состояние, то по определению существенного состояния: sS; x₁,…,x_nX: [s]_~=[h(s₁,(x₁,…,x_n))]_~=_A,n(x₁,…,x_n) => _A,n(Aⁿ)()^[c], т.е._A,n(Aⁿ)=()^[c].

Утверждение (о единственности ПЛЗ): пусть hN₀; _i: Xⁿ⁺¹Y, i=1,2; и некоторое состояниеR₀(₁) эквивалентно некоторому состояниюR₀(₂) => ₁=₂ (т.е.R₀()- единственная ПЛЗ, которая представляет некоторый автомат самовосстановления А). Доказательство: пусть они эквивалентны с задержкой к т.е.s₁s₂, тогда(x₁...x_n, x_n+1) = (x₁...x_n, x_n+1) т.к. после к-того такта появляются эквивалентные состояния по условию.

Следствие: дляА, nN₀ следующие свойства равносильны: а)А- автомат самовосстановления с задержкой не болееn; б) AR₀() для некоторого, т.е. : Xⁿ⁺¹Y; в) AA^[c]~R₀() для некоторого.

Определение: Внутреннее самовосстановление- (т.е. вместо~,=)- это процесс перехода из 2-х состояний: s, s в одинаковые под действием одной и той же: h(s,)=h(s,). Для минимальных автоматов эти два понятия совпадают, т.к. у них‘~’’=’. Если во всех предыдущих утверждениях заменить‘~’ на ‘=’,‘самовосстановление’ на ’внутреннее самовосстановление’, ‘’ на‘’, ‘’ на‘’, то все эти утверждения останутся верными.

Определение:А- внутренний самовосстанавливающийся с задержкойn, еслиh(s,)=h(s,) s, sS; Xⁿ, причемn-минимальное. Другими словами это определение равносильно следующим условиям: =1- все состояния А совпадают с задержкой и =n –задержка совпадения.

Теорема (описание автоматов внутреннего самовосстановления): пусть A-автомат внутреннего самовосстановления с задержкойn, определим _A,n: Xⁿ⁺¹Y; _A,n: XⁿS равенствами: _A,n(x₁,…,x_n+1)=f(h(x₁,…,x_n),x_n+1), _A,n(x₁,…,x_n)=h(s,(x₁,…,x_n)), дляx₁,…,x_n; s.=> _A,n: R₀(_A,n)A- внутренний гомоморфизм, причем образ этого гомоморфизма равен А^[c]. Вывод: всякий автомат внутреннего самовосстановления можно заменить на ПЛЗ.