Вопрос 31 Критерий бесконечности памяти. Верхняя оценка конечной памяти.

Память - это есть минимальная длинна, для которой все входные последовательности установочные, если такогоm-нет, то память =.

Следствие1(из теоремы"критерий существования функции памяти"): ДляmN₀ cледующие свойства равносильны: а)m(A)m+1;б) ,S, и входная последовательностьX^m+1: A()=y₁,…,y_m, ; i=1,2 ;;(без доказательства).

Теорема (‘Критерий бесконечности памяти’): Следующие утверждения равносильны: а)память автоматаm(A)=; б) s, sS, 1l(),X^l: 1): s~s, 2): A_s()=A_s(), 3): {s, s}~{h(s, ),h(s,)};в)m(A)( )+1.

Доказательство: Импликация [а) => в)]- очевидна; [в) => б)]: по следствию1 дляm=(), пара состояний ,, и ₀=x₁,…,x_m+1: выполняется условие б) следствия, тогдаh^*(,₀)= ,…,,т.к. =>~,t 1t₁<t₂m+1- номер тактов, в которых{,}~{,}, тогда дляs=иs=,=,…,длиныl=t₂-t₁m, выполняется утверждение б) теоремы. Импликация[ б) => a)]: ПустьtN, =*…*(t раз), тогда т.к. s~s, то : A_s()A_s(), тогдаA_s()=A_s(), A_s()A_s(), тогда по следствию1: m(A)t*l+1 => m(A)= (т.к.t=).

Следствие2: Еслиm(A)<, тоm(A)( )-верхняя оценка памяти, если она <. Доказательство: Отрицанием утверждения в) теоремы.

Вопрос 32. Связь между памятью и степенью различимости, числом классов эквивалентных состояний, длинной единственности.

Утверждение(‘Нижняя оценка памяти’): Пусть Y<1,m(A)=m<, тогда: а)(А)m(A) - (степень различимости); б) log_{XY}(A^[c])m(A); в)А- подстановочный => log_Y(A)m(A).

Доказательство: а) Еслиss,то т.к. если (A_s(x₁,…,x_m)=A_s(x₁,…,x_m) => A_s()=A_s() - доказывалось ранее), тогда=> ss, т.е. произошла стабилизация уже наm. б) следует из того, что существенный подавтомат А: A^[c] представляется автоматом M() - доказывалось ранее. в) ]А-подстановочный => установочная последовательность- диагностическая. Из условия , чтовходная последовательностьX^m (длиныm)- установочная(доказывалось ранее) => входная последовательность длиныm- диагностическая=> число классов эквивалентных состоянийвообще выходных последовательностей автомата, т.е.(А)Y^m;

Определение: Длина единственности-l(A)-минимальноеlN₀:  входная последовательность X^l- диагностическая для А.l(A)=, если такихl не существует.{попаре (входные, выходные последовательности) длиныl(A) однозначно определяется ключ} (A)m(A)l(A).

В силу определения: log_Y(A)l(A). Если А- подстановочный=> m(A)=l(A); Если А- автономный, то понятия установочности и диагностичности также совпадают и сводятся к понятию: существует числоl:  выходная последовательность длины lопределяет однозначно с точностью до эквивалентности начальных состояний => если А- автономный => (A)=m(A)=l(A) => память всегда конечна(А)-1.

Вопрос 33. Критерий нераспространения искажений автоматом, следствие для инъективного автомата.

Рассмотрим систему связи:

- искаженная последовательность ; А- левый обратный к автомату А. Если в КС были искажены kзнаков, то в случае, когда в последовательности число искажений >k => произошлораспространение искажений, иначе- искажения не распространились.] : X^*Y^*, сохраняя длины, т.е.(X^l)Y^l, l; (,)-количество номеров несовпадающих членов в этих последовательностях, т.е.(,)={i=x_i x_i }, ,X^l ((,) - метрика Хемпинга).

Определение: Отображение , сохраняющее длины слов- распространяющее искажения не более чем в k раз, еслиlN; ,X^l выполняется неравенство: ((),())k*(,). Еслиk=1 => -отображение,нераспространяющее искажений.

Далее рассмотрим: Шифр колонной замены(буквы текста заменяются колонками)- порожденный множ-вом подстановок{g_l,tl,tN_, tl}, g_l,tG(X)S_x- (симметрическая группа подстановок), называется отображение: X^*X^*, определяемое по формуле: (x₁,…,x_l)= g_l,1(x₁),…,g_l,l(x₁); ((()())=(,)), т.е. для последовательности длинныl, i-ый член последовательности заменяется на её образ по подстановкеg_l,i(x_i). Если нет зависимости отl иt, то шифр колонной замены называется шифром простой замены.Шифр перестановки - порожденный множ-вом подстановок{p_llN}, p_lS_l, преобразование: X^*X^*, определяется равенством: (x₁,…,x_l)=,…,;((),())=(,);{=> - тоже не распространяет искажений}.

Определение. Обозначим через H(x) - множество всех биективных преобразованийX*,-сохраняет длины слов и не распространяет искажений, биекция;,H(x) ={:X*->X*| - биекция, сохраняет длины слов, не распространяет искажений.

Теорема ‘теорема Маркова’: Следующие утверждения равносильны для: X^*X^*: а) -биективное отображение, сохраняющее длины слов и нераспространяющее искажения;б)=, где- некоторый шифр колонной замены, а- некоторый шифр перестановки.(без доказательства).

Пусть - произвольное рефлексивное бинарное отношение на множ-ве X: X², xx  x может исказиться вx.

Определение : А- не распространяющее искажений по, если дляsS, lN, =(x₁,…,x_l), =(x₁,…,x_l)X^l: x_ix_i, iвыполняется неравенство: (A_s(),A_s())(,). При=x² (т.е. разрешены любые искажения) автомат А- нераспространяющий искажений.

Теорема: Пусть A(X,S,Y,h,f)- произвольный автомат,- произвольное рефлексивное бинарное отношение на множествеX и пустьf(s,x)f(s,x), sS; x, xX: xx, xx тогда следующие свойства равносильны: а)А- не распространяет искажений по(внутренняя автономность по);б)h(s,x)~h(s,x), sS, xx.

Доказательство: (а) => (б): предположим, что б)- невыполнено, тогда=x₂,..,x_lX^l-1: A_h(s,x)(x₂,…,x_l)A_h(s,x)(x₂,…,x_l); [(x₁,x₂…,x_l),( x₁,x₂…,x_l)]=1, [A_s(x₁,x₂…,x_l),A_s(x₁,x₂…,x_l)]2 (во входных одно искажение, а в выходных 2 => получаем противоречие.);(б) => (а): Пусть s₁S, =x₁,…,x_lX^l, = x₁,…,x_lX^l, x_ix_i,i, и пусть h^*(s₁, )=s₁,…,s_l+1, h^*(s₁,)=s₁s₂,…,s_l+1 по условию б) =>s_i~s_i, i2 => ()=f(s₁,x₁),f(s₂,x₂),…,f(s_l,x_l) => ((),())=(,).

Следствие:(случай=x²). Пусть A- инъективный автомат => А- не распространяет искажений A/~-внутренне автономный т.е. этот автомат реализует только шифр колонной замены.