Вопрос 30. Функции памяти и память автомата, их свойства, связь с установочными последовательностями.

Для любой функции : Y^bX^a+1Y; a,bN₀ определим автомат: M()=(X, Y^bX^a, Y, h, f), где h((y₁,…,y_b,x₁,…,x_a),x)=(y₁,…,y_b,( y₁,…,y_b,x₁,…,x_a,x),x₂,…,x_a,x);

f((y₁,…,y_b,x₁,…,x_a),x)=(y₁,…,y_b,x₁,…,x_a,x)

Этот автомат изображается следующим образом:

В частности, при b=0M()=R₀()- проходная линия задержки длиныa. При а=0M()=R(), класс автоматовM иR пересекаются но не совпадают.Функция памятиА- всякая функция: sS, =x₁,…,x_tX^t, t1+max{a,b} выполняется равенство:A_s()=y₁,…,y_t => y_t=(y_t-b,…,y_t-1,x_t-a,…,x_t) => память автомата А называется числоm(A)=max{a,b}; Еслине сущуствует, тоm(A)= иначе m(А)<; Еслиm(A)<, то А-автомат с конечной памятьюи если при этом:с а=0=> А- автомат с конечной памятью выхода; c b=0 => А- автомат с конечной памятью входа. Еслиm(A)max{a,b}, тогда автомат имеет конечную память. В дальнейшем можно рассматривать случай: m=a=b, без ограничения общности, т.к. можно дополнить несущественными переменными.

Теорема1:A, : Y^mX^m+1Y и m0 рассмотрим следующие свойства: а)- функция памяти А;б)y_m+1=(y₁,…,y_m,x₁,…,x_m+1) sS, x₁,…,x_m+1X^m+1, где А_s(x₁,…,x_m+1)=y₁,…,y_m+1;в) состояниеh(s,) автомата А эквивалентно состоянию(y₁,…,y_m,x₁,…,x_m) автомата M(), sS, X^m,где А_s()=y₁,…,y_m; г)А- представляется автоматом M(); д)Существенный подавтомат А: A^[c] представляется автоматомM(). Тогда свойства а), б), в)- равносильны и выполняется импликация г) => а) => д). Доказательство: По определениям: [а), б), в)- равносильны и выполняется импликация [г) =>а)]. Импликация[а) => д)] следует из равносильности свойств а) и в).Вывод:если у автомата А все состояния существенны, то свойства а) и г) равносильны.

Следствие: Для произвольного А следующие свойства равносильны:а) m(A)<; б): Y^mX^m+1Y: A^[c]представляется автоматомM().

Доказательство: импликация[а)=>б)] следует из импликации [а) =>д)]теоремы1. Далее]выполнено б) иS=n; определим: Y^n+m-1_X^n+mY равенством(y₁,…,y_n+m-1,x₁,…,x_n+m)=(y_n,…,y_n+m-1,x_n,…,x_n+m); т.е. добавим первые2*nпеременных, которые несущественны, тогдаM()~M(); sS, A_s(x₁,…,x_n+m-1)=y₁,…,y_n+m-1 => h(s, x₁,…,x_n-1)-существенное состояние А, тогдаh(s,x₁,…,x_n+m-1)[автомата М(П)]~(y_n,…,y_n+m-1,x_n,…,x_n+m-1)~(y₁,…,y_n+m-1,x₁,…,x_n+m-1)[автомата М(П')], т.е. выполняется в) теоремы1 для => m(A)n+m-1<.

Теорема2 (‘Критерий существования функции памяти’): a,bN₀; mmax{a,b} следующие свойства равносильны: а) : Y^bX^a+1Y- функция памяти А. б) ,X^m+1; s,sS, где =x₁,…,x_m+1; = x₁,…,x_m+1; A_s()=y₁,…,y_m+1; A_s()= y₁,…,y_m+1; Справедлива импликация: еслиx_m-a+1,…,x_m+1=x_m-a+1,…,x_m+1 и y_m-b+1,…,y_m+1=y_m-b+1,…,y_m+1, тогда y_m+1=y_m+1.

Доказательство: импликация [а)=> б)] следует из определения. Обратно:]выполнено б), тогда определим функцию: Y^bX^a+1Y следующим равенством: x_m-a+1,…,x_m+1X^a+1, y_m-b+1,…,y_mY^b: y_m+1=(y_m-b+1,…,y_m,x_m-a+1,…,x_m+1), гдеA_s(x₁,…,x_m+1)=y₁,…,y_m+1 для некоторых x₁,…,x_m-aX^m-a, sS, и определим- произвольно, если таких x и sне существует, тогда по теореме1-б): - функция памяти А.

Определение: Входная последовательностьX^*- диагностическаядля А, если s,sS справедлива импликация: A_s()=A_s() => s~s и последовательность -установочная, если изA_a()=A_s() => h(s,)~h(s,).( s~s - начальное,h(s,)~h(s,) - финальное с точностью до эквивалентности). Для любого автомата диагностическая последовательность является установочной, обратное верно только для подстановочного автомата.

Следствие: Для mN₀ следующие свойства равносильны: а)m(A)m; б)входная последовательностьX^m (длиныm)- установочная;в)дляx₁,…,x_m+1=X^m+1 и состоянийs, sS справедлива импликация: из A_s(x₁,…,x_m)=A_s(x₁,…,x_m) => A_s()=A_s(). Доказательство: импликация [а)=> б)] следует из равносильности свойств а) и в) теоремы1;[б) => в)] очевидны по определению; [а) => в)] следует из теоремы2 при a=b.