5

Экзаменационные вопросы по курсу «Случайные процессы» (часть I – теория вероятности) (специальность ви)

1. Понятие вероятностного пространства. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие свойства вероятностной меры.

2. Вероятностное пространство и способы задания вероятностной меры. Классическое определение вероятности.

3. Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Примеры.

4. Дискретные случайные величины. Функции распределения дискретных случайных величин.

5. Типовые дискретные распределения: бернуллиевское, биномиальное, Пуассона, полиномиальное. Основные формулы.

6. Абсолютно непрерывные распределения, понятие функции распределения, плотности распределения. Основные свойства.

7. Независимые и несовместные события. Условные вероятности. Формула полной вероятности.

8. Апостериорные вероятности. Формула Байеса.

9. Независимость случайных величин. Распределения сумм независимых случайных величин. Примеры.

10. Интеграл Лебега. Математическое ожидание случайной величины, его свойства. Примеры.

11. Дисперсия и ковариация, коэффициент корреляции, их свойства. Независимость и некоррелированность. Математическое ожидание функции от случайной величины.

12. Числовые характеристики вероятностных распределений (в том числе квантиль, медиана, мода). Примеры. Медиана экспоненциального распределения.

13. Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых дискретных распределений: бернуллиевское, биномиальное, Пуассона, полиномиальное.

14. Вычисление математических ожиданий и дисперсий типовых абсолютно непрерывных распределений: гамма-распределение, нормальное распределение, равномерное распределение.

15. Моменты случайных величин. Вычисление моментов k-го порядка для стандартной нормальной случайной величины и для гамма-распределения.

16. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Примеры.

17. Неравенства Маркова и Чебышева.

18. Виды сходимости случайных величин: по вероятности, с вероятностью 1, слабая сходимость, сходимость в среднеквадратичном.

19. Определение и свойства производящих функций, нахождение распределений суммы независимых случайных величин. Вычисление k-ого факториального момента с использованием производящих функций. Примеры.

20. Определение и свойства характеристических функций. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Вычисление характеристических функций на примере нормального распределения, гамма-распределения.

21. Теорема о равномерной непрерывности характеристических функций (с доказательством), теорема единственности (без доказательства).

22. Линейные преобразования случайных величин: формулы для функции распределения и плотности.

23. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли, Хинчина, Чебышева.

24. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа (с доказательством).

25. Теорема Пуассона (с доказательством).

26. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (без доказательства).

27. Теорема Лебега (без доказательства). Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения.

28. Комбинаторные задачи теории вероятностей (упорядоченный и неупорядоченный выбор с возвращением и без возвращения). Основные формулы.

29. Случайные размещения. Определение случайной величины , к=0,1,…,n. Вычисление ее математического ожидания и дисперсии.

30. Парадокс дней рождений.

31. Распределения случайных векторов. Понятие математического ожидания и ковариационной матрицы. Примеры.

32. Многомерное нормальное распределение. Его свойства и основные теоремы.

33. Теорема о необходимом и достаточном условии независимости случайных векторов, имеющих многомерное нормальное распределение.