3. Метод lu-розкладу

При розв‘язанні системи лінійних алгебраїчних рівнянь даним методом матрицю коефіцієнтів А розкладають на добуток двох матриць (3.1) – нижньої трикутної матриці U, на головній діагоналі якої стоять одиниці, та верхньої трикутної матриці L, елементи головної діагоналі якої не дорівнюють нулю.

А =L·U, (3.1)

де . (3.2)

Отже, систему (1.2) можна записати у вигляді

L·U·x = b. (3.3)

Введемо допоміжний вектор у, таки що

U·x = у. (3.4)

Тоді систему рівнянь (3.3)можна переписати у вигляді

L·у = b. (3.5)

Розв’язування системи (3.1) або (3.2) відбувається в два етапи: спочатку розв’язується система (3.5), а потім (3.4).

Така послідовність розв’язку дає перевагу методу (у порівнянні з методами Гауса), адже якщо потрібно розв’язати декілька систем з однією і тією ж матрицею А, задача суттєво спрощується, оскільки зберігаються матриці L та U.

Розв’язок системи L·у = b називається прямим ходом, а системи U·x = у – оберненим ходом.

Спочатку розглянемо прямий хід методу. Завдяки трикутній формі матриці L вектор у можна легко визначити. Для цього (3.5) перепишемо у вигляді системи рівнянь

(3.6)

Звідси отримуємо елементи у в загальному вигляді

,

(3.7)

Під час оберненого ходу вектор х визначається з системи рівнянь

x₁ + u₁₂x₂ + u₁₃x₃ + … + u_1nx_n = y₁

x₂ + u₂₃x₃ + … + u_2nx_n = y₂

x₃ + … + u_3nx_n = y₃ (3.8)

………………………………

x_n = y_n

Починаючи з останнього рівняння, можна послідовно знайти елементи вектора х. У загальному вигляді вони визначаються за формулами

(3.9)

Розглянемо LU – розклад матриці А.

Елементи матриці L та U визначаються за наступними формулами:

, .

(3.10)

Ці ж самі формули можна записати у більш зручному вигляді (метод Краута).

(3.11)

Наприклад, при k =1

для всіх ; для всіх .

Алгоритм методу зображений на рис.3.1

Рисунок 2.1. – Схема алгоритму розв’язання СЛАР методом LU-розкладу

4. Приклади розв’язування задач

Приклад 4.1

Методом Гауса розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання.

Прямий хід методу Гауса.

Додамо до другого рядка перший, помножений на -2:

До третього рядку додамо перший, помножений на 1:

Додамо до третього рядку другий, помножений на 3:

Обернений хід методу Гауса.

З останнього рівняння знаходимо:

З другого рівняння отримаємо:

З першого рівняння обчислюємо останнє невідоме:

Отже, розв’язком рівняння буде

Тобто, якщо маємо систему з 3-ма невідомими, то кількість арифметичних операцій буде:

.

Приклад 4.2

Методом Гауса з вибором головного елемента розв’язати систему рівнянь:

.

Розв’язання.

Прямий хід методу Гауса.

Так як коефіцієнт a₁₁ = 2 найбільший із коефіцієнтів першого стовпчика, тому перестановка рядків непотрібна. Тоді із другого, третього та четвертого рядків виключаємо змінну x₁, обчисливши спочатку коефіцієнти:

, , ,

а потім додаючи до другого, третього і четвертого рядків системи перший рядок, помножений на відповідні коефіцієнти, отримаємо нову систему:

У новій системі найбільший за модулем коефіцієнт при x₂ – a = –1.15. Тому переставляємо рядки наступним чином:

.

Обчислимо множники:

, ,

а далі додамо третє і четверте рівняння системи рівнянь до другого рівняння, помноженого на відповідні множники, переходимо до системи:

.

На останньому кроці прямого ходу методу Гауса з вибором головного елемента, обчислимо коефіцієнт

.

Додавши до четвертого рівняння системи третє, помножене на обчислений коефіцієнт, приведемо систему рівнянь до трикутного вигляду:

.

Обернений хід методу Гауса.

Із останнього рівняння системи, приведеної до трикутного вигляду, знаходимо x₄ = 1.000. Підставляючи значення x₄ у третє рівняння, отримаємо x₃ = 2.000. Підставивши знайдені значення x₄ та x₃ у друге рівняння, знайдемо x₂ = 3.000. Нарешті, з першого рівняння обчислимо x₁ = –1.000.

Отже, система рівнянь має такі розв’язки:

x₁ = 1.000, x₂ = 2.000, x₃ = 3.000, x₄ = – 1.000. 

Приклад 4.3

Методом LU-розкладу розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання.

Представимо матрицю A у вигляді: A=LU.

Покажемо обчислення значень елементів матриці L та U.

Крок 1. Значення елемента l₁₁= а₁₁=2.

Значення елементів першого стовпчика матриці U:

u₁₁=2/2=1;

u₂₁=1/2=0.5;

u₃₁=1/2=0.5.

Крок 2. Отримуємо значення елемента l₂₁=4.

Обчислюємо значення елемента l₂₂=1-(4 0.5)=-1

А потім отримуємо значення: u₂₂=-1/(-1)=1;

u₂₃=-2/(-1)=2.

Крок 3. Значення елемента l₃₁=-2.

Обчислюємо такі значення елементів матриці L:

l₃₂=2-(-2 0.5)=3;

l₃₃=1-(-2 0.5+3 2)=-4.

Тоді значення u₃₃=-4/(-4)=1.

Отже, отримали такі діагональні матриці:

, .

Прямий хід методу LU-розкладу.

Обчислюємо значення елементів вектора у:

y₁ = 1/2 = 0.5;

y₂ = (-2-4 0.5 )/(-1) = 4;

y₃ = (7-(-2) 0.5+3 4 )/(-4) = 1.

Обернений хід методу LU-розкладу.

x₃ = y₃ = 1;

x₂ = 4-(2 1 ) = 2;

x₁ = 0.5-(0.5 2+0.5 1 ) = -1.

Отже, розв’язком рівняння буде

Варіанти завдань

Написати програму розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь у відповідності до варіанту:

1)методом Гауса з вибором головного елемента;

2)методом LU-розкладу.

Вимоги до звіту

Звіт до лабораторної роботи повинен містити такі структурні елементи:

1. Титульний аркуш.

2. Тема.

3. Мета.

4. Короткі теоретичні відомості.

5. Алгоритм розв’язку СЛАР.

6. Текст програми з коментарями.

7. Вигляд реалізованої програми.

8. Висновки.

Вимоги до програми

Програма має передбачати наступні можливості:

1. Автоматичний розв’язок СЛАР відповідними методами.

2. Ввід вхідних даних вручну: задати порядок СЛАР, елементи матриці коефіцієнтів та вільні члени системи.

3. Передбачити можливість некоректного введення даних.

4. Передбачити вивід покрокового виконання для кожного методу.

Контрольні питання

1. Що таке СЛАР?

2. Що називається розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь?

3. Які СЛАР називаються сумісними?

4. Які СЛАР називаються виродженими?

5. Які СЛАР називаються Визначеними?

6. В чому суть прямих методів розв’язування СЛАР?

7. З яких етапів складається алгоритм методу Гауса?

8. Який результат прямого ходу методу Гауса?

9. Що дозволяє визначити зворотній хід методу Гауса?

10. Які переваги методу Гауса з вибором головного елемента?

11. Які додаткові кроки необхідно зробити у методі Гауса з вибором головного елемента?

12. Який вигляд має матриця коефіцієнтів у методі LU-розкладу?

13. Які етапи розв’язання СЛАР методом LU-розкладу?