Тогда можем записать для преобразования системы координат o0ξηζ к системе o0x0y0z0 и наоборот в следующем виде:
(1.4)
Для углов ориентации и качки объекта α, ψ и θ (Рис1.1.) можно получить следующие значения направляющих косинусов:
(1.5)
Следует иметь ввиду, что данные значения направляющих косинусов справедливы для приведённой на Рис.1.1. последовательности поворотов системы координат o0x0y0z0 относительно системы o0ξηζ вокруг общего центра o0. Значения направляющих косинусов для других схем поворотов можно найти в литературе [2].
Вместе с тем в процессе движения ОН совершает поступательные (линейные) колебания, а также угловые колебания вокруг ЦМ. Такие поступательные колебания ЦМ объекта получили название продольных, поперечных (боковых) и вертикальных колебаний, а угловые колебания вокруг ЦМ называют качкой объекта.
При исследовании динамики процесса управления движением ОН такие колебательные движения принимают изменяющимися по гармоническому закону. Однако в реальной эксплуатации в процессе движения ОН одновременно проявляется действие целого ряда гармоник разной интенсивности в широком диапазоне частот, характерном для конкретного типа ОН (наземный самоходный, морской, воздушный и др.).
Учитывая
характер воздействия среды движения
для большинства типов ОН МР (наземных,
морских), их качку можно считать нормальным
стационарным случайным процессом с
математическим ожиданием значений
случайных величин
и
,
равным нулю:
.
Распределение
значений углов качки по частотам ω
характеризуется спектральной плотностью
случайной величины:
(1.6)
где
,
- корреляционные функции случайных
величин
и
,
характеризующие связь между значениями
случайной величины в моменты времени
t
и (t
+ τ).
Используя выражение (1.6) можно получить следующие зависимости для корреляционных функций случайных величин и :
(1.7)
Дисперсии случайных величин и , характеризующие интенсивность качки, и среднеквадратические и срединные значения амплитуд качки имеют вид:
(1.8)
Вероятностные
характеристики качки ОН МР могут быть
определены путём статистической
обработки натуральных записей для
конкретного типа объекта-носителя.
Записанные углы качки
и
обрабатывают на корреляторе и находят
нормированные корреляционные функции
и
:
(1.9)
где
и
определены коррелятором по зависимости:
На Рис.1.2. представлен вид такой функции для угла поперечной качки наземных самоходных ОН.
Частота
затухающей нормированной корреляционной
функции характеризует преобладающую
частоту углов качки при движении ОН МР.
Для одного из носителей типа гусеничного
самохода при средних скоростях его
движения по грунтовым трассам по
полученным экспериментальным данным
построены спектральные плотности
и
(Рис.1.3 и 1.4), аппроксимируемые следующими
аналитическими зависимостями:
(1.10)
где
На графике спектральной плотности max кривой соответствует собственной частоте качки ОН. Для наглядности резкой зависимости параметров качки от типа носителя (гусеничный или колёсный самоход, корабль, самолёт, ракета) на Рис.1.4. приведён также график спектральной плотности поперечной (бортовой) качки одного из типа кораблей (пунктир).
При учёте одновременного влияния качек учитывают их взаимозависимость,
как случайных функций, характеризуемую взаимными корреляционными функциями:
(1.11)
При динамических исследованиях систем управления и стабилизации ОН необходимы вероятностные характеристики угловых скоростей и ускорений качки. Они могут быть найдены аналитическим путём, как производные случайного процесса угла качки, или путём статистической обработки натурных записей. Подробные сведения по вопросу представления параметров движения, как случайных величин, изложены в работе [1].
Рис.1.2. Нормированная корреляционная функция.
Рис.1.3. Спектральная плотность продольной качки гусеничного самохода
Рис.1.4. Спектральная плотность углов поперечной качки.
–––– гусеничный самоход
― ― корабль