2. Индукция магнитного поля соленоида

Как известно из общей физики поле созданное в бесконечном соленоиде можно определить из следующего выражения:

В = ₀I·n, (1.2)

где I ток в соленоиде, а п число витков на единицу длины соленоида. На практике некоторым приближением к бесконечному соленоиду будет длинная катушка, у которой диаметр в несколько раз меньше длины. Очевидно, что поле внутри соленоида конечной длины будет изменяться вдоль оси катушки, достигая максимума вблизи середины и плавно уменьшаясь к торцам. Легко понять, что у торца полубесконечного соленоида магнитное поле будет в два раза меньше, чем у бесконечного соленоида. Таким образом, у длинного соленоида поле у его торцов уменьшается примерно в два раза по сравнению с полем в центре соленоида. Поэтому область однородного поля находиться только в ограниченной области вблизи центра соленоида.

Если от соленоида требуется получение однородного поля большого объема, то его стремятся максимально приблизить к бесконечному соленоиду. Чтобы получить достаточно большую однородную область, диаметр ка­тушки и отношение длины к диаметру следует выбирать возможно большими (например, порядка 3 : 1). Однако, вследствие вытя­нутой формы соленоида доступ к рабочей области неудобен; поэ­тому соленоиды применимы не для всяких видов магнитных измерений.

Падение напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида можно уменьшить, увеличивая число витков на концах катушки, или располагая там дополнительные обмотки. Для получения большей однородности вдоль оси можно даже ослабить поле в середине, используя для этого вторую обмотку.

Получим выражение для магнитного поля соленоида конечной длины (рис. 1).

Пусть число витков на единицу длины n и участок dz содержит n·dz витков, которые, согласно выражению (1.1) для поля витка с током, в точке на оси соленоида создадут индукцию

, (1.3)

здесь r = (R² + x²)^½.

Из рис. 1 видно, что

, . (1.4)

Подставляя (1.4) в (1.3) и интегрируя полученное выражение от ₁ до ₂, имеем

(cos₁ – cos₂). (1.5)

В случае бесконечного соленоида ₁  0, ₂  , и мы получим (1.2) В_z = ₀I·n.

Чтобы для расчетов магнитного поля в этой работе можно было воспользоваться геометрическими размерами соленоида, выразим значения косинусов входящие в выражение (1.5). Учтем, что cos₂ = cos(180 – ₃) = – cos₃ (рис. 1), тогда

. (1.6)

Начало координат поместим в центр соленоида и обозначим

, , (1.7)

получим:

и . (1.8)

Из выражения (1.6) можно рассчитать поле в любой точке на оси соленоида, как внутри, так и вне соленоида. Для этого необходимо знать длину соленоида L, радиус R, ток I, число витков на единицу длины n и задать расстояние z от центра соленоида. Необходимо только вычислить косинусы углов ₁ и ₂. Надо учитывать, что выражения (1.5, 1.6) строго применимы только для однослойного соленоида. Однако в случае, когда толщина обмотки соленоида меньше его радиуса они также применимы. В этом случае число витков на единицу длины определяется как n = N/L, где N – полное число витков. Кроме того, в выражения (1.8) должен войти средний радиус намотки.

Для поля в центре z = 0 и выражения (1.7) и (1.8) упрощаются: θ₁ = θ₃ = θ₀ и cos θ₁ = – cos θ₃ Соответственно

В = ₀I·n·cosθ₀.

Как видно отличие от формулы для бесконечного соленоида выражается только в геометрическом множителе: К = cosθ₀. Для расчета геометрических множителей удобно прейти к половинной длине соленоида. Обозначим L/2 = l. Здесь l полудлина соленоида. Тогда а = b = l и К = l/(R² +l²)^1/2. Окончательно получим:

В = ₀I·n·l/(R² +l²)^1/2, (1.9)

где l – половина длины соленоида, в качестве R – обычно принимается средний радиус намотки. Однако точные формулы учитывающие толщину намотки выглядят более сложными. В рамках этой работы они не рассматриваются.