3. Упругие свойства анизотропного твердого тела

При механическом воздействии твердое тело подвергается деформации. Силу под действием которой происходит деформация называют напряжением¹. Всего имеется 9 компонент напряжения, однако независимыми является только шесть компонент.

Закон Гука утверждает, что если деформации твердого тела достаточно малы, то они пропорциональны механическим напряжениям, т.е. компоненты деформации являются линейными функциями компонент напряжения:

e_xx = S₁₁X_x + S₁₂Y_y +S₁₃Z_z + S₁₄Y_z + S₁₅Z_x + S₁₆X_y, (23)

…. Всего 6 уравнений.

С другой стороны компоненты напряжений являются линейными функциями компонент деформации:

X_x = C₁₁e_xx + C₁₂e_yy +C₁₃e_zz + C₁₄e_yz + C₁₅e_zx + C₁₆e_xy, (24)

…. Всего 6 уравнений.

Величины S₁₁, S₁₂,… называются постоянными упругой податливости, или упругими постоянными; величины С₁₁, С₁₂,… называются постоянными упругой жесткости или модулями упругости.

Если на элемент объема кристалла действует сила, то уравнение движения для смещения в направлении х:

(25)

Здесь ρ – плотность, а u – компонента вектора смещения.

Как видно из приведенных уравнений (23) и (24) в уравнение движения (25) войдут упругие константы S_ij или С_ij.

Решение уравнения (25) можно получить для плоской волны (5).

Очевидно, что уравнения (23), (24) и (25) в зависимости от симметрии кристалла и направления распространения волны будут иметь различное число слагаемых. В анизотропных средах, которые могут обладать в общем случае 21 независимой упругой постоянной, могут существовать в данном направлении нормали к фронту волны, три различных вектора смещения, каждый из которых связан с характерной скоростью плоской волны. Из трех волн одна аналогична продольной волне, две – поперечным волнам для случая изотропного тела.

Решая эти уравнения можно получить выражения для скорости продольных и поперечных волн. Экспериментально можно определить скорость соответствующих трех волн и из этих данных найти упругие константы.

Например, для кубического кристалла скорость продольной волны в направлении [111] равна

v_l = [1/₃(C₁₁ + 2C₁₂ + 4C₄₄)/ρ]^1/2. Скорость поперечной волны при тех же условиях равна

v₂ = [1/₃(C₁₁ – C₁₂ + C₄₄)/ρ]^1/2.

Здесь ρ – плотность материала. Тогда как в направлении [100] скорость продольной и поперечных волн соответственно равны v₁ = (C₁₁/ρ)^1/2 и v₂ = (C₄₄/ρ)^1/2. Постоянные упругой жесткости С_ij являются важными характеристиками вещества и их экспериментальное определение или теоретический расчет является актуальной задачей. Как видно из поведенных выражений для определения упругих констант необходимо в кристалле измерить скорость распространения звуковых волн в разных кристаллографических направлениях. При это требуется возбудить в веществе как продольные так и поперечные волны.

4. Измерение скорости звука в твердых телах

Для генерации звуковых волн можно воспользоваться свойством пьезоэлектриков изменять свои размеры при наложении электрического поля. Для это применяются пьезоэлектрические преобразователи электрического поля в механические колебания. Простейший преобразователь представляет собой тонкую пластинку ( < 0.5 мм) из поляризованного пьезоэлектрика. Для подачи на пьезоэлектрик электрического поля на пластинку наносят электроды, которые вместе с диэлектриком пьезоэлектрика образуют плоский конденсатор.

В качестве излучателей ультразвука могут использоваться также цилиндры из пьезоэлектрика, здесь электроны нанесены на боковые поверхности цилиндров, а также толстые пластины. В последнем случае толстые пластины применяются для генерации мощных импульсов ультразвука, например для гидролокации. Другим методом получения ультразвука является основанный на магнитострикции преобразователи магнитной энергии в механические колебания с использование ферромагнитных материалов, например металлического никеля. Однако пьезоэлектрические источники ультразвука имеют ряд преимуществ перед магнитострикционными преобразователями и чаще используются на практике.

Как отмечалось в лабораторной работе №4 пластика пьезоизлучателя имеет собственные частоты механических колебаний. При совпадении частоты радиочастотного поля с частотой механического колебания пластинки возникает явление резонанса. Возбудить механические колебания в пьезоизлучателе можно путем подачи на него короткого электрического импульса. Поскольку добротность пьезоэлектрического элемента как механической системы достаточно велика, то при воздействии импульсного электрического поля в таком пьезоизлучателе возникают слабо затухающие колебания. Если пластинка приведена в акустический контакт с некой средой, то колеблющаяся пластинка возбуждает в образце ультразвуковые волны. Частота этих волн равна частоте собственных колебаний пьезоэлемента. Однако вследствие наличия затухания в системе колеблющейся пластинки, которая отдает мощность в окружающую среду, в образец излучается некий достаточно короткий цуг ультразвуковых колебаний.

Импульс ультразвуковых колебаний проходит от излучателя до задней стенки образца за время t` = l/v, где l – длина образца в направлении распространения ультразвуковой волны, v – скорость звука в образце. Достигнув задней стенки ультразвуковая волна частично отражается обратно в образец (рис. 1), а частично преломляется и рассеивается вне образца. Отраженное волна в виде ультразвукового эха преодолевает толщины образца за точно такое же время t`. Достигнув передней стенки колебания образца, вызывают колебания пьезоэемента, что в свою очередь приводит к наведению на обкладках пьезодатчика колебаний электрических зарядов вследствие обратного пьезоэффекта. Возникающие на обкладках пьезодатчика импульсы напряжения усиливаются и поступают на электронный осциллограф.

Н а экране осциллографа наблюдается пульс, отстоящий от возбуждающего импульса на интервал времени 2 t`. Однако процесс распространения ультразвуковой волны в образце на этом не заканчивается. Ультразвуковой импульс, достигнув передней стенки образца и вызвав колебания пьезодатчика отражается обратно во внутрь образца. Это импульс повторно достигает задней стенки и вновь возвращается обратно. В результате много кратного прохождения сигнал сквозь образец на осциллографе будет наблюдаться серия сигналов эха (рис. 2), амплитуда которых будет постепенно уменьшаться. Уменьшение амплитуды сигналов эха связано как с непосредственным затуханием звука в веществе, так и рассеянием акустической волны при отражении от стенок образца. Проведя измерения времени между сигналами эха можно непосредственно определить скорость звука в данном направлении кристалла.

Поскольку интервал между сигналами эха t = 2t`, то

v = 2l/t (26)

В монокристаллах скорость звука может зависеть от направления распространения в кристалле. Для более детального исследования твердых тел необходимо измерить скорость прохождения продольных поперечных волн в кристалле. Для возбуждения определенного типа волн используют специально изготовленные пьезоэлементы. Например, такие пьезоэлементы можно изготовить из кварца, вырезав пластинки кварца вдоль разных направлений в кристалле. Измерив скорость распространения различных типов волн можно найти упругие постоянные С₁₁, С₁₂, С₄₄ в кристалле. При таких измерениях используют один и тот же образец и одно направление распространения волны, но срез и установка излучателей должна быть различной, чтобы обеспечить заданное направление колебаний атомов образца.

Измеренная таким образом скорость ультразвука является групповой скоростью волн, которая, вообще говоря, отлична от их фазовой скорости, о которой мы говорили до сих пор. При отсутствии дисперсии (дисперсией называется зависимость фазовой скорости распространения волн от их частоты) эти две скорости равны друг другу.

Затухание ультразвука определяется по уменьшению интенсивности ультразвуковой волны. Существуют различные способы измерения коэффициента затухания импульсным методом. В жидкостях и газах удобно изменять длину пробега волны, увеличивая или уменьшая расстояние между излучателем и рефлектором. Сравнивая величину отраженных импульсов на экране осциллографа при двух фиксированных расстояниях, нетрудно определить коэффициент затухания  по формуле

(25)

немедленно следующей из (21). Преимущество описываемого метода - заключается в том, что результаты измерений не зависят от коэффициента отражения волн от задней стенки.

Другой способ измерения коэффициента затухания основан на исследовании последовательных отражений ультразвука от передней и задней стенки образца. Отражающими поверхностями в твердом теле могут служить его свободные концы. Расстояние, проходимое ультразвуковым импульсом между двумя последовательными возвращениями к излучателю, равно 2l, где l - длина тела. Расчетная формула в этом случае приобретает вид

(26)

Ослабление звука, связанное с неполным его отражением от концов образца, в этом случае не исключается и входит в ошибку измерений.

Методика измерений

Блок-схема установки приведена на рис. 3.

В ысоковольтный генератор импульсов подает импульс на LC контур образованный катушкой индуктивности и конденсатором С. Конденсатор С представляет собой сам пьезоизлучатель. Катушка имеет такую индуктивность, чтобы выполнялось резонансное соотношение. Элементы схемы C₁, C₂, R, D₁ и D₂ служат для согласования и развязки участков цепи. В частности пара встречновключенных диодов защищает вход усилителя от перегрузки.

На рис. 3. показан импульс возбуждения и затухающие колебания, возникающие в колебательной системе. Сразу после действия импульса затухающие колебания не позволяют регистрировать сигнал эхо. Очевидно, что для наблюдения первого сигнала эха время прохождения звука в образце должно быть больше чем время переходных процессов возникающих в системе. Поэтому для тонких образцов возможно измерение сигналов эхо для кратных отражений или при условии низкой скорости звука в этих веществах. Часто кратные отражения могут не наблюдаться из-за сильного поглощения звуковых волн или сильного рассеяния на торцах образца. В таком случае следует использовать более толстые образцы или более совершенную аппаратуру для возбуждения звука. Современные методы позволяют возбуждать колебания упругих волн в диапазоне частот до сотен ГГц. Однако в таких случаях используется специальная техника приближающая по исполнению к технике СВЧ.

Д ля измерения скорости звука в воде применяется специальное устройство (рис.5) состоящее из излучателя 1, сосуда с водой 2, держателя ультразвукового излучателя 3, подвижного рефлектора 4, приспособления для подъема рефлектора 5. Ультразвук излучается погруженным в воду излучателем и отражается от рефлектора, который представляет собой металлическую пластину. Рефлектор можно поднимать и таким образом изменять глубину прохождения ультразвука. Это позволяет измерять поглощение звука в воде пользуясь формулой (25), а также наблюдать интерференцию ультразвука. Интерференция возникает, когда волна проходящая в прямом направлении встречается отраженной волной. При фиксированной частоте ультразвуковых волн можно наблюдать интерференцию, если подобрать подходящую глубину прохождения ультразвука. Глубина измеряется штангенциркулем.

Измерение скорости звука в твердых телах имеет свои особенности. Торец излучателя и поверхность исследуемого образца в месте, где будет размещаться излучатель смачивается жидкостью, например, маслом или водой, для создания хорошего акустического контакта. Излучатель прикладывается к поверхности образца и вручную плотно притирается к поверхности. В ходе измерений излучатель удерживается на поверхности образца руками.

При наличии четких сигналов эха проще всего произвести измерение времени t между максимумами эха, как это показано на рис. 6 (t₂ и t₃; t₂ = t₃). Расстояние между импульсами эхо измеряются на экране осциллографа в делениях шкалы и умножаются на соответствующее значение переключателя «Время/дел». Желательно интервал времени измерить как можно точнее. Кроме времени прохождения звука необходимо знать и толщину образца. Толщина измеряется с помощью штангенциркуля.

Если наблюдается только один четкий сигнал эха, приходится проводить измерения относительно начала запуска развертки осциллографа (t₁). При этом следует внести поправки. Момент запуска развертки и появление импульса на выходе генератора не обязательно совпадают. В генераторе предусмотрена регулировка величины такой задержки. Для проведения некоторых измерений задержка t_зад может быть равна нулю при других устанавливается конкретное время задержки, например 1 мкс. Поэтому при измерениях положения первого эха от величины t₁ следует вычесть величину задержки, если она не равна нулю. Так же из времени t₁ следует вычесть интервал времени примерно равный длительности импульса τ_имп. Длительность импульса устанавливается на панели прибора. Обычно выбирают очень короткие импульсы, например 0.1 – 0.3 мкс. Само же время t₁ измеряют от точки, которая индицирует начало запуска развертки до начала первого сигнала эха (рис.6).

Кроме того от всех времен t₁, t₂, t₃ следует вычитать время t_п ~ 0.6 мкс. Интервал времени t_п возникает при прохождении звуком самого излучателя (см. ниже).

Таким образом t = t₁ – t_зад – τ_имр – 0.6 (мкс), а так же t = t₂ – 0.6.

После внесения этих поправок полученное время t = 2t' (26) используется при расчетах скорости звука.

Приборы и оборудование.

В работе используются следующие приборы: генератор импульсов Г5-15, осциллограф С1-65А, ультразвуковой излучатель, блок питания, штангенциркуль, набор образцов. Для измерения скорости звука предлагаются следующие материалы: вода, спирт (на данный момент отсутствует), цилиндры из дюралюминия, железа, латуни, бронзы, пластинка плексигласа, кристалл кварца, кристалл корунда.

Конструкция ультразвукового излучателя приведена на рис. 7. Излучатель состоит из алюминиевого корпуса в нижней части которого находится пьезодатчик. Пьезодатчик залит эпоксидной смолой, которая служит для аккустической связи датчика с внешней средой. Из-за наличия конечной толщины слоя смолы (l_п на рис. 7) звук в начале преодолевает слой смолы и только потом передается исследуемому материалу. Толщина слоя l_п порядка 2 мм. При скорости звука в смоле примерно 3400 м/с задержка на прохождения слоя смолы составит примерно 0.6 мкс. Наличие этой задержки следует учитывать при проведении измерений (см. выше). Выводы излучателя подключены к схеме (рис. 3). В верхней части излучателя находится предварительный усилитель. Усилитель питается от источника напряжением 9 – 12 В.

В качестве генератора импульсов используется генератор Г5-15 (рис. 8). Три ручки в верхней левой части прибора служат для установки задержки импульса относительно импульса синхронизации. Выход импульса синхронизации «Выход» расположен внизу в левой части прибора. Две ручки справа, вверху служат для установки длительности импульса. Ручки «Частота», «Hz» служат для установки частоты следования импульсов. Ручка «Амплитуда» служит для измерения амплитуды импульса. Вращая ручку «Амплитуда» добиваются зажигания лампочки расположенной справа от ручки, значение амплитуды считывают по шкале «V». Сама же амплитуда импульса регулируется ручкой «Амплитуда импульса». Выходной разъем импульса «Выход» находится справа, внизу на панели прибора.

Практическая часть

Излучатель подключается к блоку питания, осциллографу и генератору. На осциллографе и генераторе ручки управления устанавливаются в исходное положение. (Про исходное положение ручек спросить у преподавателя). Приборы включаются сеть.

1. Провести измерения скорости звука в воде при трех разных расстояниях между излучателем и рефлектором. Измерить затухание звука в воде при тех же положениях рефлектора. Вычислить среднее значение скорости. Сравнить с данными приведенными в таблице 2 для скорости звука в воде при той температуре, которая имеет место в момент проведения измерений. Вычислить среднее значение затухания и сравнить табличными данными.

2. Измерить скорость звука в металлических образцах. Для одного из материалов рассчитать теоретическую скорость звука (формулы 1б и 4), пользуясь данными таблицы 1.

3. Измерить затухание звука для всех образцов.

4. Измерить скорость звука в плексигласе. Рассчитать теоретическую скорость звука (формулы 1б и 4), пользуясь данными таблицы 1.

5. Измерить затухание звука.

6. Провести измерения скорости звука для двух направлений в кристалле кварца. Одно из направлений соответствует Х-срезу, другое Y-срезу (см. работу №4). Исходя из полученных данных и плотности кварца рассчитать модуль Юнга для этих направлений.

7. Измерить затухание звука.

8. Провести измерения скорости звука для двух направлений в кристалле сапфира. Вычислить модуль Юнга для кристалла сапфира.

9. Измерить затухание звука.

10. Все полученные данные представить в виде сравнительной таблицы. Форму таблицы составить самостоятельно. На основании данных представленных в таблице сделать обобщающие выводы о механических свойствах исследованных материалов.

Таблица. 1. Модули упругости, скорость звука, плотность и сжимаемость для жидкостей и некоторых твердых веществ

Вещество	Ею, 1010 Н/м2	ρ, кг/м3	μ	v, м/с (продол.)	v, м/с (стержень)
Алюминий	7.1	2700	0.345	6260	5080
Дюралюминий	7.3	2700 - 2900	0.34	6400
Латунь	9.8	8500 - 8700	0.35	4280 - 4700	3490
Медь	12.3	8960	0.343	4700
Плексиглас	0.32	1200	0.35	2550 - 2670
Полистирол	0.32	~ 1200	0.35	2350
Железо	21	7800	0.29	5850	5170
Сталь	20	7700 - 7900	0.291	5100	5050
Сталь твердая	21 - 28			до 6000
Стекло	~ 7	2600 - 2760	~ 0.25	5000
Кварц (Х-срез)				5720
Кварц плавлен.	7.5			5980
Свинец	1.6	11340	0.441	1300 - 2160
NaCl		2200		4400
Сапфир
ВаTiО3					4900
	χ, 1/ГПа
Вода (25˚С)	0.47	997.04		1497
Спирт (20˚С)	1.17	790		1180

Таблица 2. Скорость звука в воде при разных температурах.

t˚ C	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
v, м/с	1466,2	1469,7	1473,1	1476,4	1479,6	1482,7	1485,7	1488,6	1491,5	1494,3	1497

1 Коэффициент сжимаемости отношение относительного изменения объема к изменению давления, вызвавшее это изменение: χ = – dV/V·dp.

Литература.

1. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: 1978. Гл. 4

2. Портис А. Физическая лаборатория М.: 1972. Раздел 2.