Вопрос 31. Потенциал силы тяжести и его свойства.

Потенциал силы тяжести - физическая величина, характеризующая поле силы тяжести в данной точке. Единица измерения потенциала как удельной энергии 1 Дж/кг = 1 м2/с2.

П отенциал силы тяжести ( ) был введен в теорию гравиметрии для облегчения решения теоретических задач. В точке А, расположенной на расстоянии r_A от центра Земли, выражение для потенциала принимается равным: W_A=GM/r_A, а в любой точке B, расположенной на продолжении радиуса , . Поэтому разность потенциалов будет равна:

В пределе при малом имеем:

отсюда g=-dW/dr, т.е. сила тяжести есть производная потенциала силы тяжести по направлению к центру Земли. С другой стороны, работа, которая может быть произведена при движении притягиваемой точки по отрезку , равна . Поэтому , или работа силы тяжести по перемещению единичной массы на отрезке равна разности значений потенциала на концах этого отрезка. При перемещении точки в направлении, перпендикулярном силе тяжести, dW=0. Это означает, что W=const. Поэтому гравитационное поле можно представить в виде набора бесконечного числа поверхностей, на которых потенциал остается постоянным, а ускорение силы тяжести направлено перпендикулярно этой поверхности. Такие поверхности называют эквипотенциальными или уровенными. В частности, поверхность жидкости на Земле, например, моря, совпадает с уровенной поверхностью. У Земли есть одна уникальная уровенная поверхность, которая совпадает с невозмущенной волнениями поверхностью океанов. Она называется геоидом. Таким образом, геоид - это условная уровенная поверхность, которая совпадает со средним уровнем океанов и открытых морей, проходит под сушей и по определению везде горизонтальна, а ускорение силы тяжести к ней перпендикулярно.

Вопрос 32. Классификация вторых производных.

Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой точке пространства. Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке P направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с касательной к силовой линии.

Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести (удельной) можно записать следующим образом

г де -- орты, направленные соответственно вдоль осей PX, PY иPZ. Очевидно, что составляющие вектора силы тяжести суть первые производные потенциала тяжести

В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними индексами

Первые производные потенциала являются составляющими силы тяжести по координатным осям х, у и z, поскольку потенциал W должен удовлетворять условиям. Напишем шесть вторых производных потенциала W:

Возьмем начало прямоугольных координат в точке М земной поверхности. Совместим направление оси z с направлением силы тяжести g, а оси х и у расположим в .плоскости горизонта, направив их соответственно на север и восток. В таком случае

можно представить сл.образом:

Эта производная показывает, как изменяется сила тяжести в направлении вертикали, и потому называется в е р т и к а л ь ным г р а д и е н т о м силы т я ж е с т и. Представим аналогичным образом производные

Отсюда видно, что эти производные характеризуют изменение силы тяжести в горизонтальной плоскости: первая — в направлении меридиана, а вторая — в направлении первого вертикала.

Они получили название г о р и з о н т а л ь н ы х г р а д и е н т о в силы т я ж е с т и . Знание горизонтальных градиентов силы тяжести дает возможность определить п о л н ы й горизо н т а л ь н ы й г р а д и е н т , под которым понимается геометрическая сумма векторов и т. е. вектор, указывающий направление, в котором сила тяжести возрастает (или убывает) в плоскости горизонта быстрее всего