Нелинейное программирование. Линии уровня и тп

Классификация:

1)общие задачи НП

2)Выпуклые и вогнутые задачи НП

3)Выпуклые и вогнутые задачи квадратичного программирования

4)Классическая задача оптимизации или задача на условный экстремум

Локальные максимумы и минимумы – это все экстремумы, которые функция f(x) имеет на некоем отрезке [a,b], на котором она определена.

Глобальный максимум и глобальный минимум – соответственно, наибольшее и наименьшее значения из локальных максимумов и минимумов

Выпуклая функция f(x) характеризуется тем, что в области её определения (отрезок [a,b]) все точки графика функции расположены ниже соответствующей секущей или на ней, а вогнутая тем, что все её точки на области определения расположены выше соответствующей секущей или на ней.

Задача выпуклого (вогнутого) программирования – область допустимых решений, определяемая системой ограничений, представляет собой выпуклую область, а целевая функция является выпуклой (вогнутой) функцией. Выпуклая задача нелинейного программирования соответствует случаю минимизации выпуклой целевой функции на выпуклой области ОДР, а вогнутая задача – максимизации вогнутой целевой функции на выпуклой ОДР.

Графическая интерпретация допустима только для случая с двумя переменными (F=F(x1,x2) max(min)-целевая). При этом целевая функция имеет вид произвольной кривой, а ограничения – область произвольного вида

Линия уровня - множество точек, координаты которых (x1,x2) удовлетворяют уравнению F(x1,x2) = a.

Общая мат модель задаи лин прогр об использовании ресурсов( задача планирования производства)

Предприятие планирует выпуск n видов продукции А1, А2, …Аn, на производство которых затрачивается m видов ресурсов S1, S2,…Sm – сырьё различных видов. Предприятие располагает предельным кол. ресурсов в объёмах b1, b2,…bm усл. ед. Количество каждого вида ресурсов Si, i = 1,2,…,m, затрачиваемого на производство единицы продукции Aj, j = 1,2…,n, известно и равно a_ij усл. ед./ ед. прод. После изготовления продукции A1, A2,…An она поступает в продажу. Ожидаемая прибыль от реализации единицы каждого вида продукции известна и составляет c1, c2,…, cn ден. ед. / ед. прод.

Требуется определить какую продукцию и в каком объёме следует производить предприятию, что получаемая от реализации продукции прибыль была максимальной.

Виды ресурсов	Количество ресурса, затрачиваемого на производство единицы продукции усл. ед. / ед. продукции				Предельные кол. ресурсов, усл. ед.
	А1	А2	…	Аn
S1	а11	a12	…	a1n	b1
S2	а21	a22	…	a2n	b2
…	…	…	…	…	…
Sm	аm1	am2	…	amn	bm

Цель – получение максимальной прибыли от реализации продукции

Неуправляемые факторы – заданные и неизменные в данной операции нормы расхода ресурсов, предельны1е кол. ресурсов и величины прибыли от реализации единицы всех видов продукции. Совокупность неупр. факторов определяет ограничения.

Управляемые факторы представляют собой объёмы (х1, х2, …) выпускаемой продукции n видов, а совокупность управляемых параметров х = (х1, х2,…хn), удовлетворяющих всем ограничениям – возможные ограничения. ЛПР – директор предприятия или назначенный им сотрудник.

Целевая функция F представляет собой суммарную прибыль от реализации произведённой продукции.

Её необходимо максимизировать

Ограничения отражают тот факт, что расход каждого вида ресурса, затрачиваемого на производство всех видов продукции, не может превышать его объёма, имеющегося у предприятия на складе.

Поскольку объёмы выпуска всех видов продукции х₁, х₂…., х_n не могут быть отрицательными, необходимо добавить условия

x₁≥0, х₂≥0, …, x_n≥0