01Краткий курс: Основные понятия теории вероятностей и математической статистики.

6. Основные понятия теории вероятности.

Теория вероятности ("ТВ") - раздел математики, который изучает закономерности, присущие случайным событиям массового характера.

Основными понятиями "ТВ" являются: событие - результат испытаний испытание - комплекс условий, при которых появляется данное случайное событие. Случайным называют событие, наступление которого нельзя достоверно предвидеть. Случайные события называются массовыми, если они в одинаковых условиях происходят одновременно в большом числе случаев, или многократно повторяются.

Основными характеристиками случайных событий являются относительная частота F(A) его появления, т.е. отношение числа m случаев, благоприятствующих данному событию к общему числу n возможных случаев: F(A) = m/n и вероятность события P(A) = m/n. Вероятность события А равна отношению числа m случаев благоприятствующих появлению события А, к общему числу возможных событий n - это классическое определение вероятности.

Для массовых случайных событий всегда можно определить среднюю относительную частоту их появления, которая является более или менее устойчивой при различных сериях наблюдений. Величина P(A), около которой колеблется относительная частота появления какого - либо события, называется его статистической вероятностью. Статистическое определение вероятности: Вероятность события А равна: Р(А) = lim m/n .

Понятие вероятности можно отнести и к одному событию, тогда ему дается следующее статистическое определение: вероятность случайного события есть предел, к которому стремится относительная частота его появления при неограниченном увеличении числа наблюдений.

Поскольку для любого события А число появлений m находится в пределах :

0 < m < n , то вероятность этого события Р(А) лежит в пределах от 0 до 1.

События называют достоверными, если они происходят всегда, или вероятность которых равна единице. События называют невозможными, если они не происходят никогда, или вероятность которых равна нулю. События называют несовместимыми, если при каждом испытании появление одного из возможных событий исключает появление остальных. События называют совместимыми, если они могут происходить одновременно. События называют независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от наступления других событий. Событие В называется зависимым от события А, если его вероятность Р(В) меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет. В этом случае вводится понятие условной вероятности, под которой понимается вероятность события В при условии, что событие А произошло. Обозначают это так: Р( В / А). Систему событий А1 А2 ..., Аn называют полной, если при каждом испытании обязательно наступает одно (и только одно ) из этих событий. Сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1: Р(А1 ) + Р(А2 ) + ... + Р(Аn ) = 1. Два единственно возможных несовместимых события называют противоположными, если при каждом испытании обязательно происходит одно из них, или Р(А) + Р(А) = 1. Событие называют сложным, если оно состоит из одновременного наступления нескольких событий.

Теорема сложения: Вероятность появления при испытании одного ( любого ) из нескольких несовместимых событий Р ( А или В ) равна сумме их вероятностей: P( A или B) = P(A) + P(B)

Теорема умножения для независимых событий: Вероятность Р(А и В) сложного события, состоящего из совпадения двух независимых простых событий А и В, равна произведению вероятностей Р(А) и Р(В) этих событий: Р(А и В) = Р(А) Р(В).

Теорема умножения для зависимых событий: Вероятность Р(А и В) сложного события, состоящего из совпадения двух зависимых простых событий А и В (причем В зависит от А), равна произведению вероятности первого из них Р(А) на условную вероятность второго

Р(В / А) в предположении, что первое произошло: Р(А и В) = Р(А) Р( В / А).

Теорема о полной вероятности: вероятность события А, которое может произойти с одной из образующих полную группу гипотез (Н) равна сумме произведений вероятностей гипотез на вероятность события при каждой гипотезе: Р(А) = P(H_i) P(A/H_i).

Теорема Байеса: вероятность гипотезы в результате которой могло произойти данное событие равна отношению произведения вероятности гипотезы на вероятность события при данной гипотезе к вероятности события: P(H_i/A) = [P(H_i) P(A/H_i)]/ P(A).