Тема 5 Методика предельного анализа

Задача 5.1 По данным нижеприведенной таблицы, определите объем произ­водства, максимизирующий прибыль предприятия.

Таблица 5.1

Показатели деятельности промышленного предприятия за ряд лет

Период наблюдения, количество лет	Объем продукции, тыс.ед	Цена ед. про-дукции, тыс.руб	Себестои-мость про-дукции, млн.руб.	Выручка от реалиизации продукции, млн.руб.	Валовая прибыль, млн.руб.
1	12,80	2,25	20,48	28,80	8,32
2	13,50	2,30	22,50	31,05	8,55
3	14,70	2,20	23,52	32,34	8,82
4	15,90	2,15	25,44	34,19	8,75
5	18,70	2,12	30,92	39,64	8,72
6	20,60	1,90	29,87	39,14	9,27
7	22,69	1,88	33,90	42,66	8,76
8	24,50	1,70	35,52	41,65	6,13
9	25,10	1,67	37,22	41,92	4,70
10	26,20	1,65	38,46	43,23	4,77

Решение. Используем метод предельного анализа. Введем следующие обозначения: R — валовая прибыль; Р — цена продукции; Q — физиче­ский объем продукции; С — себестоимость всей продукции; N — вы­ручка от реализации продукции (нетто). R = N - C = PQ - C.

Р и С - функции от Q, т.к. цена и себестоимость продукции зависят от ее количества. Предположим, что эта зависи­мость является прямолинейной.

P = f(Q), C = g (Q) Р = а₀ + a₁Q, С = b₀ + b₁Q. Найдем параметры этих уравнений а₀, а₁, b₀ и b₁, ис­пользуя метод наименьших квадратов.

Необходимые для решения данные полу­чим в следующей таблице:

Q	C	P	Q2	CQ	PQ
12,80	20,48	2,25	163,84	262,14	28,80
13,50	22,50	2,30	182,25	303,75	31,05
14,70	23,52	2,20	216,09	345,74	32,34
15,90	25,44	2,15	252,81	404,50	34,19
18,70	30,92	2,12	349,69	578,20	39,64
20,60	29,87	1,90	424,36	615,32	39,14
22,69	33,90	1,88	514,84	769,19	42,66
24,50	35,52	1,70	600,25	870,24	41,65
25,10	37,22	1,67	630,01	934,22	41,92
26,20	38,46	1,65	686,44	1007,65	43,23
ИТОГО:
194,69	297,83	19,82	4020,58	6090,95	374,62

Решив эти уравнения, получим а₀ = 2,96, а₁ = -0,05, b₀ = 5,06, b₁ = = 1,27. Итак, Р = 2,96 - 0,05 х Q, С = 5,06 + 1,27 х Q.

Из математического анализа известно, что в точке максимума производная функции равна нулю. Продифференцируем обе части соотношения R = PQ - С, в результате чего получим dR = d(PQ - С). Так как d(PQ - С) = dPQ - dC=0, то dPQ = dC.

dPQ = d(Q x (2,96 - 0,05 х Q)=d(2,96 x Q - 0,05 х Q²) = 2,96 - 0,1 х Q dC = (5,06 + 1,27 х Q =1,27. 2,96 - 0,1 х Q = 1,27. Таким образом, Q = 16,9 (тыс. ед.).

Р = 2,12, С = 26,52, R = 9,31.

Как показывают приведенные расчеты, дальнейшее увеличение объема производства не имеет смысла, так как максимальная прибыль получается при объ­еме производства в 16,9 тыс. ед. Этот вывод характерен, когда тенденции изменения цены и себестоимости остаются неизменными.

Задача 5.2

Фирма решает вопрос о целесообразности предоставления группе постоянных покупателей 10%-ной скидки с цены товара. Изучение рынка показало, что в этом случае объем продаж этим по­купателям возрастет на 80 ед. Производственные мощности предпри­ятия позволяют увеличить объем производства на 120 ед. Предполагаемые объемы продаж до и после предоставления скидки приведены в нижеприведенной таблице.

Показатели	До предоставления скидки	После предоставления скидки
Цена 1 ед. товара, руб.	200	180
Объем продаж, ед	3000	3080
Переменные затраты, руб.	390 000	400 400

При решении используйте маржинальный подход в анализе.

Задача 5.3

Предприятие производит изделие, которое реализуется на рынке по цене (Р) 2500 руб. Имеются следующие данные о величине общих за­трат (С) и объемах производства (Q) этого изделия по месяцам года:

Месяц	Объем производства (Q), тыс.ед.	Общие затраты (С), млн.руб.
Январь	12	22,5
Февраль	11	26
Март	13	30,6
Апрель	14	33,5
Май	18	40,8
Июнь	12	27,5
Июль	10,5	26
Август	17,2	37,4
Сентябрь	18	40,8
Октябрь	16	35
Ноябрь	13,5	32
Декабрь	14,8	34,5

Используя методы маржинального анализа:

• определите порог рентабельности для данного предприятия;

• рассчитайте запас финансовой прочности этого предприятия в ав­густе;

• найдите объем производства, при котором данное предприятие сможет получить прибыль 12 млн. руб. в месяц.

Решение

С помощью корреляционного анализа рассчитаем уравнение общих затрат. Между Q и С существует прямолинейная зависимость, описываемая уравнением регрессии С = а₀ + a₁Q. Пара­метры а₀ и а₁, найдем из системы уравнений:

Значения, необходимые для решения этой системы, получим в таб­лице:

Месяц	Q	C	CQ	Q2
Январь	12	22,5	270,00	144,00
Февраль	11	26	286,00	121,00
Март	13	30,6	397,80	169,00
Апрель	14	33,5	469,00	196,00
Май	18	40,8	734,40	324,00
Июнь	12	27,5	330,00	144,00
Июль	10,5	26	273,00	110,25
Август	17,2	37,4	643,28	295,84
Сентябрь	18	40,8	734,40	324,00
Октябрь	16	35	560,00	256,00
Ноябрь	13,5	32	432,00	183,25
Декабрь	14,8	34,5	510,60	219,04
ИТОГО	170	386,6	5640,48	2485,38

Р ешив эту систему уравнений, получим а₀ = 2,18 и а₁ = 2,12.

С = 2,18 + 2.12Q.

Из уравнения общих затрат видно, что общие постоянные затраты (z_c) составляют 2,18 млн. руб., а удельные переменные затраты (z_υ) — 2,12 тыс. руб.

Критический объем производства (порог рентабель­ности) определяется по формуле:

При объеме производства, равным 5,74 тыс. ед., у пред­приятия нет ни прибыли, ни убытка. Это его порог рентабельности.

Объем производства в августе составлял 17,2 тыс. ед., а запас финансовой прочности 11,46 тыс. ед. (17,2 - 5,74).

Для получения прибыли 12 млн. руб. в месяц объем производства должен составить:

При таком объеме производства выручка N= 37,32 х 2,5 = 93,3 (млн. руб.), общие переменные расходы Z_υ =37,32 х 2,12 = = 79,12 (млн. руб.), общие постоянные расходы Z_c = 2,18 (млн. руб.). Прибыль R = 93,3 - 79,12 - 2,18 = 12 (млн. руб.).