Тема 4 Методика корреляционного анализа
Задача 4.1
Имеются следующие данные о прибыли фармацевтической фирмы (в сопоставимых ценах) и о доле дорогостоящих лекарственных средств (ЛКС) в ее выручке:
Таблица 4.1
Годы |
Прибыль, тыс.руб. |
Доля дорогостоящих ЛКС в выручке, % |
1998 |
1200,00 |
34,0 |
1999 |
1820,00 |
38,0 |
2000 |
950,00 |
30,5 |
2001 |
760,00 |
28,6 |
2002 |
129,00 |
20,7 |
2003 |
650,00 |
22,3 |
2004 |
1450,00 |
35,6 |
2005 |
2100,00 |
40,5 |
2006 |
2670,00 |
45,7 |
2007 |
1950,00 |
38,8 |
2008 |
1810,00 |
36,7 |
2009 |
1760,00 |
32,6 |
Между величиной прибыли фармацевтической фирмы и долей дорогостоящих ЛКС в ее выручке существует прямолинейная корреляционная зависимость, необходимо составить уравнение регрессии, рассчитать коэффициенты корреляции и детерминации для этой связи и дать оценку ее тесноты.
Решение
Обозначим
через х
долю
дорогостоящих ЛКС в
выручке фармацевтической
фирмы, через у
—
прибыль этой фирмы. Корреляционная
зависимость между у
и
х прямолинейна,
уравнение perрессии
имеет вид
Для нахождения параметров этого уравнения
а0
и
at
решаем
систему нормальных уравнений:
Значения
и
приведены в таблице:
х |
у |
х2 |
ху |
|
у2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
34,00 |
1200,00 |
1156,00 |
40 800,00 |
1468,97 |
1 440 000,00 |
38,00 |
1820,00 |
1444,00 |
69 160,00 |
1847,65 |
3 312 400,00 |
30,50 |
950,00 |
930,00 |
28 975,00 |
1137,63 |
902 500,00 |
28,60 |
760,00 |
817,96 |
21 736,00 |
957,75 |
577 600,00 |
20,70 |
129,00 |
428,49 |
2 670,30 |
209,86 |
16 641,00 |
22,30 |
650,00 |
497,29 |
14 495,00 |
361,33 |
422 500,00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
35,60 |
1450,00 |
1267,36 |
51620,00 |
1620,44 |
2102 500,00 |
40,50 |
2100,00 |
1640,25 |
85 050,00 |
2084,33 |
4410 000,00 |
45,70 |
2670,00 |
2088,49 |
122 019,00 |
2576,61 |
7128 900,00 |
38,80 |
1950,00 |
1505,44 |
75 660,00 |
1923,39 |
3802 500,00 |
36,70 |
1810,00 |
1346,89 |
66 427,00 |
1724,58 |
3276 100,00 |
32,60 |
1760,00 |
1062,76 |
57 376,00 |
1336,43 |
3097 600,00 |
ИТОГО: |
|||||
404,00 |
17 249,00 |
14 185,18 |
635 988,30 |
17 248,96 |
30 489 241,00 |
С истема нормальных уравнений имеет вид:
Найдем параметры а0 и а1 одним из известных способов:
а0 = -1749,81, а1= 94,67.
Следовательно,
-1749,81 + 94,67х.
Подставляя в это уравнение соответствующие значения х, получим у х.
Для измерения тесноты связи между х и у рассчитаем линейный коэффициент корреляции:
из
таблицы видно, что
= 404/12 = 33,67;
= 17249/12 = 1437,42;
=
635988,30/12
= 52999,03;
=
14185,18/12 = 1182,1;
=
30489241/12 = 2540770,08.
Подставляя эти значения в формулу для линейного коэффициента корреляции, получим:
Если коэффициент корреляции исчислен для сравнительно небольшого числа наблюдений (и), следует оценить его надежность (значимость). Для этого рассчитаем среднюю ошибку коэффициента корреляции:
В
этой формуле
— 2 = 12 — 2 = 10 - число степеней свободы
(k).
Итак,
Находим отношение коэффициента корреляции к его средней ошибке:
По таблице в приложении 1 определяем критическое значение t-критерия Стьюдента при числе степеней свободы k =10 и уровне значимости а = 0,05. Оно равно 2,2281. Поскольку, фактическое t больше критического (48 > 2,2281), линейный коэффициент корреляции является значимым, а связь между х и у реальной.
Рассчитаем коэффициент детерминации d = r2 = 0,962 = 0,92.
Таким
образом, в результате анализа установлено:
существует довольно тесная связь между прибылью фармацевтической фирмы и долей дорогостоящих ЛКС в ее товарообороте (поскольку линейный коэффициент корреляции близок к 1);
эта связь прямая (поскольку линейный коэффициент корреляции положителен);
величина прибыли на 92% зависит от доли дорогостоящих ЛКС в ее товарообороте и на 8% от других факторов.