5 Контрольні питання

5.1 Дайте визначення алгебраїчного і трансцендентного рівнянь, лінійного і нелінійного рівнянь

5.2 Що значить "відокремити корінь" і "уточнити корінь "?

5.3 Як можна знайти відрізок ізоляції коренів рівняння ?

5.4 Яким вимогам повинна задовольняти функція F(x) рівняння f(x)=0 для використання методу половинного розподілу?

5.5 В чому відмінності методів Ньютона та хорд і в яких випадках їх використання не ефективні?

Список літератури

1. Самарский А.А., Гулсен А.В. Численные методы.- М.:"Наука", 1989.

2. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. -М.: "Наука",1972.

3. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике: учеб. Пособие для втузов.-М.:Высшая школа, 1983.-208с.

4. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.т.1.,-М.: "Наука", 1959.

5. Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.: "Наука",1978.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. т.1,-М.: "Наука", 1979.

7. Дьяконов В. Matlab 6: Учебный курс. - СПб.; Питер, 2002. -592с.

8. Потемкин В.Г. Введение в Matlab.- М.: Диалог - МИФИ, 2000.-247с.

Завдання до практичної роботи

Обчислити з точністю е = 0,001 один з коріння рівняння ах³+bx²+cx+d=0 методом ділення відрізка навпіл

Таблиця 1- Вихідні дані

№ варіанту	а	b	з	d
	2	–3	4	1
	–5	1	–2	3
	3	–2	–3	4
	4	2	–2	5
	–1	6	3	–4
	–4	3	2	–1
	2	–5	1	6
	6	3	–5	2
	5	–4	3	4
	1	5	–4	3
	–2	4	–3	5
	4	–6	1	3
	–6	–1	3	2
	1	6	–5	–3
	5	3	–5	1
	2	–3	4	1
	–5	1	–2	3
	3	–2	–3	4
	4	2	–2	5
	–1	6	3	–4
	–4	3	2	–1
	4	–6	1	3
	–6	–1	3	2
	4	2	–2	5
	–1	6	3	–4

Практична робота № 5

1 Тема

Уточнення коренів рівняння методами хорд і дотичних

2 Мета

Оволодіти методами відділення коренів нелінійного рівняння та їх уточнення. Навчитися використовувати графічні та аналітичні засоби відділення коренів. Засвоїти метод хорд, дотичних для уточнення знайдених коренів.

3 Обладнання: ПЕОМ

4 Порядок виконання роботи

4.1 Постановка задачі

Відокремити один із коренів рівняння графічно або аналітично.

Обчислити з точністю е = 0,001 один з коренів рівняння ах³+bx²+cx+d=0 методами хорд та дотичних.

4.2 Математична модель задачі

4.3 Алгебраїчне розв'язання задачі

Результати обчислень звести до таблиці за зразком приведеним в теоретичних відомостях

4.4 Результати розв'язку

5 Висновок (по меті).

Теоретичні відомості

Метод хорд. У основі цього методу лежить лінійна інтерполяція по двох значеннях функції, які мають протилежні знаки. При пошуку кореня метод забезпечує швидшу збіжність . Визначаються значення функції в точках, розташованих на осі через рівні інтервали. Це робиться до тих пір, поки не матимуть різних знаків. Пряма, проведена через ці дві точки, перетинає вісь х при значенні

Зразок виконання роботи

Рішення

Табуліруємо функцію

х	у
0,7	2,516586
0,8	0,875531
0,9	-0,28579
1	-0,94996
1,1	-1,11095
1,2	-0,78935
1,3	-0,03795
1,4	1,0589
1,5	2,390465

Корені рівняння знаходиться на інтервалі (0,8;1) і (1,1;1.5) . Уточнимо корінь на інтервалі (1,1;1.5) методом хорд.

Щоб уточнити корінь методом хорд, визначимо знаки функції f(x) на кінцях проміжку [1,1, 1,5] і знак її другої похідної в цьому проміжку:

Як фіксована точка приймається та точка С, для якої виконується умова:

f(c) ^. f”(c)>0

Якщо f(a) ^. f”(a)>0, то с=а, b=x₀, в протилежному випадку с=b, a=x₀

Уточнення кореня здійснюється по формулі:

.

Обчислення розташовуємо в таблиці

Таблиця 1 – Результати розрахунку

n	a	b	f(a)	f(b)	дріб	умова
0	1,1	1,5	-1,110953	2,390465	-0,1269
1	1,2269	1,5	-0,626413	2,390465	-0,0567
2	1,2836	1,5	-0,187309	2,390465	-0,0157
3	1,2993	1,5	-0,044146	2,390465	-0,0036
4	1,3030	1,5	-0,009775	2,390465	-0,0008
5	1,3038	1,5	-0,002134	2,390465	-0,0002
6	1,3040	1,5	-0,000464	2,390465	0,0000
7	1,3040	1,5	-0,000101	2,390465	0,0000	корінь

Відповідь:

Кількість ітерацій n=7,

Метод Ньютона (дотичних).

Уточнення кореня здійснюється по формулі: .

В якості х₀ вибирається той кінець інтервалу, де виконується умова:

f(х₀) ^. f”(х₀)>0

Заздалегідь знайдемо

Складемо таблицю

Таблиця 2 – Результати розрахунку

n	x	f(x)	f*(x)	дріб	умова
0	1,5	2,390465	13,32961843	0,179334874
1	1,320665	0,163710	9,456919311	0,017311089
2	1,303354	-0,006202	8,891031962	-0,000697558
3	1,304052	0,000449	8,914398648	5,03294E-05
4	1,304001	-0,000032	8,912714281	-3,56289E-06	корінь

Відповідь: Кількість ітерацій n=4