2 Мета роботи
Ознайомитись з основними методами рішення систем лінійних рівнянь. Придбати навички використовувати ітераційні методи для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
3 Обладнання: ПЕОМ
4 Порядок виконання роботи
4.1 Постановка задачі
Дана лінійна система рівнянь Ах = В
Необхідно:
1) Використовуючи метод простої ітерації, вирішити систему лінійних рівнянь з точністю до 0,001.
2) Використовуючи метод Зейделя, вирішити систему лінійних рівнянь з точністю до 0,001. .
4.2 Математична модель задачі
4.3 Алгебраїчне розв'язання задачі
Результати обчислень звести до таблиці за зразком приведеним в теоретичних відомостях
4.4 Результати розв'язку
5 Висновок (по меті).
Теоретичні відомості
Ітераційні методи вирішення систем лінійних рівнянь особливо ефективні при великому порядку системи. Вони застосовуються до систем, заздалегідь приведених до вигляду
Існує декілька різновидів ітераційних методів. Це методи Якобі (простої ітерації)
У методі Якобі початкові значення змінних використовуються для обчислення нових значень х, за допомогою приведених вище рівнянь. Ця процедура повторюється до тих пір, доки не буде досягнута збіжність або стане ясно, що процес розходиться. У цьому методі заміна значень всіх змінних ведеться одночасно (одночасне зрушення). .
Розрахунок по методу простої ітерації
Таблиця 1 – Результати розрахунку
x1 |
x2 |
x3 |
умова по х1 |
умова по х2 |
умова по х3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0,846154 |
0,190476 |
1,719298 |
|
|
|
1,510507 |
1,249663 |
1,375233 |
|
|
|
………. |
|
………. |
|
………. |
|
0,99945 |
1,000369 |
0,998917 |
|
|
y |
0,999454 |
0,999326 |
1,000025 |
y |
|
|
1,000186 |
0,999802 |
1,000444 |
y |
y |
y |
Відповідь: х1=1,000186, х2=0.999802, х3=1,000444
У методі Зейделя уточнене значення х1 відразу ж використовується для обчислення х2. Потім по нових значеннях х1 і х2 визначаються х3 і так далі Це дозволяє істотним чином збільшити швидкість збіжності
Розрахунок по методу Зейделя
Таблиця 2 – Результати розрахунку
x1 |
x2 |
x3 |
умова по х1 |
умова по х2 |
умова по х3 |
0,5 |
0,5 |
0 |
|
|
|
0,715385 |
0,463004 |
1,306561 |
|
|
|
………. |
…….. |
…… |
………. |
…….. |
…… |
0,999101 |
0,999157 |
1,000624 |
|
|
|
1,00048 |
1,00045 |
0,999667 |
|
|
y |
0,999744 |
0,99976 |
1,000178 |
y |
y |
y |
Відповідь: х1=0,999744, х2=0.99976, х3=1,000178