Лекция 8 Тема: Основные уравнения и постановка задач математической физики.
К основным уравнениям математической физики относятся следующие уравнения в частных производных второго порядка.
1. Волновое и телеграфное уравнения.
Уравнения
(1)
где с – скорость распространения волны в данной сфере, называется волновым уравнением; x, y, z- декартовы координаты; t-время
Для двумерного пространства волновое уравнение имеет вид
(2)
В одномерной области
(3)
Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления:
а) малые поперечные колебания струны (при этом под u(x,t) понимают поперечное отклонение точки х струны от положения равновесия в момент времени t);
б) продольные колебания упругого стержня (u – продольное отклонение частицы от её положения при деформации);
в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны;
г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки трубы можно пренебречь (u – это давление или расход).
Определение: Уравнение вида
(4)
называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах (u - сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах (u - давление или скорость).
Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.
2. Уравнение теплопроводности
Уравнение
(5) ,
где а – температуропроводность (параметр, учитывающий физическое свойство среды), называется уравнением теплопроводности.
Для плоского случая
(6)
Для одномерного
(7)
Уравнением
теплопроводности описываются процессы
нестационарного массо– и теплообмена.
В частности, к этим уравнениям приводят
задачи неустановившемся режиме
распределения (при этом а2
- коэффициент температуропроводимости,
а u
– температура в любой точке исследуемой
области в любой момент времени
t),
о фильтрациии упругой жидкости в упругой
пористой среде, например, нефти и газа
в подземных источниках (
-
коэфициент пьезопроводности, u
– давление
в любой точке среды),
о неустановившейся диффузии (
- коэфициент диффузии, u
- концентрация),
о течение жидкости в материальных
трубопроводах (u
– давление или скорости жидкости).
Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой областифункционирует внутреннее источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением
(8)
где f(x,y,z,t) - характеризует интенсивность функционирования источника.
Уравнения (5)-(8) являются простейшими уравнениями параболического типа.
3. Уравнения Лапласа и Пуассона
Уравнение
называется уравнением Пуассона в трехмерном пространстве.
Если в этом уравнении f(x,y,z)=0, то оно называется уравнением Лапласа.
К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе. Это задачи гидродинамики, диффузии, распределение температуры, электростатики и другие.
Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.
Определение: Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащие время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящее к уравнениям, не содержащие время, называют стационарными или статистическими.
Определение: Решением уравнения в частных производных называется всякая функция, которая, будучи поставленное в уравнение вместо неизвестной функции u и её частных производных, обращает это уравнение в тождество по неизвестным переменам.
Как известно, для
обыкновенного дифференциального
уравнения
решение
содержит n
произвольных постоянных, то есть
называется общим решением (при условии,
что при соответствующем выборе констант,
возможно, решить задачу Коши).
Для уравнений в частных производных дело сложнее. Так называемое общее решение содержит n произвольных функций.
Задача1.
Решить уравнение
.
Решение:
Ясно, что искомая функция u(x,y)
не зависит от переменной х,
так как
,
но может быть любой функцией от у,
то есть
.
Т.о. решение уравнения содержит одну
произвольную функцию
.
Задача 2.Решить уравнение
,
где f(y) - заданная функция
Решение:
,где
-
неизвестная функция
Итак,
решение задачи 1 и 2 содержит одну
произвольную функцию
.
Такие решение называют общим.
Задача 3. Решить уравнения
Решение:
обозначим
-
произвольная функция.
Следовательно, исходное уравнение примет вид
где
- произвольные дважды дифференцируемые
функции.
Легко проверить,
что найденная функция
удовлетворяет данному уравнению.
Итак, решение ДУ в ч.п. второго порядка содержит две произвольные функции. Такие решения называют общим.
В этом заключается коренное отличие общего решения уравнения в ч.п. от общего решения ОДУ, которая содержит соответственно одно или две произвольные постоянные.
В дальнейшим будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, то есть функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.
Как выяснили, уравнения математической физики 2-го порядка имеют бесчисленное множество решений, зависящих от двух произвольных функций.
Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию положить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями.
Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия (краевые условия).
Граничные условия – это условие, заданное на границе рассматриваемой среды.
Начальные условия – это условие, относящиеся к какому–то моменту времени, с которого начинается изучение физического явления.
Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений.
Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды.
Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.
Совокупность дифференцируемого уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.
Задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям (краевым условиям).
Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем условиям, существует, единственно и устойчиво.
Примеры:
Найдите общее решение уравнения :
