Однородное уравнение теплопроводности с неоднородными граничными условиями.
Задача сводиться к решению уравнения
с начальным условием
и граничными условиями
,
.
где k – коэффициент теплопроводности стержня, h0 и h1 - коэффициенты теплообмена на торцах стержня, u0 и u1 – заданные температуры на концах стержня.
Если
или
,
то метод Фурье к данной задаче неприменим,
так как граничные условия неоднородны.
Поэтому сведем сначала задачу к однородным
краевым условиям. Сделаем это в
предположении, что температуры внешних
сред u0
и u1
постоянны.
Введем новую
искомую функцию W(x,t),
связанную с u(x,t)
формулой
,
где
и
- некоторые постоянные коэффициенты,
которые подберем так, чтобы для функции
W(x,t)
получились однородные краевые условия.
Так как
,
то граничные условия исходного уравнения перепишем в виде
,
.
Требование однородности этих условий состоит в выполнении равенств
.
Эта система относительно и имеет единственное решение, так как
,
поскольку h0, h1, k, l – положительные числа.
Найдя и , получим для W(x,t) краевые условия в виде
,
(5)
,
(6)
которые уже являются однородными.
Таким образом, приходим к решению уравнения относительно W(x,t) с однородными граничными условиями
с начальными условиями
,
где
- функция, задаваемая на интервале 0<x<l,
и однородными граничными условиями (5)
и (6). Такие задачи нами уже рассматривались.
Примеры:
Решить уравнение
с начальным условием
и граничными
условиями
.
Решить уравнение
с начальным условием
и граничными
условиями
.
Решить уравнение
с начальным условием
и граничными
условиями
.
Решить уравнение
с начальным условием
и граничными
условиями
.
Решить уравнение
с начальным условием
и граничными
условиями
.
Решить уравнение
с начальным условием
и граничными
условиями
.
Решить уравнение
с начальным условием
,
и граничными условиями
.
Решение следует искать в виде
,
где V(x,t)
– неизвестная функция.
Лекция 16. Тема: Неоднородные уравнения теплопроводности. Неоднородные уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями.
Эта задача сводиться к решению уравнения теплопроводности
(1)
с начальным условием
и граничными условиями
,
.
При этом
предполагается, что непрерывная функция
f(x,t)
имеет кусочно-непрерывную производную
первого порядка по х
и что при всех t>0
выполняются условия
.
Будем искать решение в виде ряда
,
(2)
так что граничные условия удовлетворяются сами собой.
Предположим, что функция f(x,t), рассматриваемая как функция от х, может быть разложена в ряд Фурье:
,
(3)
где
.
Подставляя ряд (2) в уравнение (1) и принимая во внимание (3), получим
,
откуда, заменяя
величиной wn,
получим
(4)
Пользуясь начальным условием для u(x,t):
,
получаем начальное
условие для Tn(t):
.
Решая ОДУ (4) с нулевым начальным условием, находим
.
Подставляя это выражение в ряд (2), получим решение исходной задачи в виде
.
Используя выражение
для
,
преобразуем
найденное решение
где
.
Функция
называется функцией мгновенного
точечного источника тепла.