Іі. Теоретичні відомості

Розглянемо задачу. Визначити

(2.1)

за умов:

(2.2)

. (2.3)

Припустимо, що система (2.2) за умов (2.3) сумісна і багатокутник її розв’язків обмежений.

Згідно з геометричною інтерпретацією задачі лінійного програмування кожне і-те обмеження-нерівність у (2.2) визначає півплощину з граничною прямою (і = 1, 2, …, т). Системою обмежень (2.2) графічно можна зобразити спільну частину, або переріз усіх зазначених півплощин, тобто множину точок, координати яких задовольняють всі обмеження задачі — багатокутник розв’язків.

Умова (2.3) невід’ємності змінних означає, що область допустимих розв’язків задачі належить першому квадранту системи координат двови­мірного простору. Цільова функція задачі лінійного програмування гео­мет­рично інтерпретується як сукупність паралельних прямих с₁х₁ + с₂х₂ = const.

Скористаємося для графічного розв’язання задачі лінійного програмування такими властивостями:

1. якщо задача лінійного програмування має оптимальний план, то екстремального значення цільова функція набуває в одній із вершин її багатокутника розв’язків;

2. якщо ж цільова функція досягає екстремального значення більш як в одній вершині багатокутника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією цих вершин.

Отже, розв’язати задачу лінійного програмування графічно означає знайти таку вершину багатокутника розв’язків, у результаті підстановки координат якої в (2.1) лінійна цільова функція набуває найбільшого (найменшого) значення.

Алгоритм графічного методу розв’язування задачі лінійного програмування складається з таких кроків:

1. Будуємо прямі, рівняння яких отримуємо заміною в обмеженнях задачі (2.2) знаків нерівностей на знаки рівностей.

2. Визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо багатокутник розв’язків задачі лінійного програмування.

4. Будуємо вектор , що задає напрям зростання значення цільової функції задачі.

5. Будуємо пряму с₁х₁ + с₂х₂ = const, перпендикулярну до вектора .

6. Рухаючи пряму с₁х₁ + с₂х₂ =const в напрямку вектора , знаходимо вершину багатокутника розв’язків, де цільова функція набирає екстремального значення (перша вершина багатокутника – розв’язок задачі на мінімум, остання вершина - розв’язок задачі на максимум).

7. Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набирає максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці.

Ііі. Завдання

Побудувати та розв’язати графічно задачу лінійного програмування згідно варіанту. Дати економічну інтерпретацію результатам розв’язку.

Варіанти 1-5

На фермі кожна корова щоденно має отримувати не менше 9 частин зерна, не менше 8 частин сіна, не менше 12 частин висівок. Для годування тварин використовуються два види кормів. Кількість частин зерна, сіна та висівок у кожному виді кормів та вартість 1 кг кормів наведено у табл. 2.1. Складіть денний раціон необхідної поживності, мінімізуючи при цьому витрати на придбання кормів.

Таблиця 2.1

Норми витрат ресурсів та вартість 1 кг кормів

Поживні речовини	Кількість поживних речовин у 1 кг
	Корм 1	Корм 2
Зерно	3+0,1·р	1
Сіно	1	2+0,1·р
Висівки	1	6
Вартість 1 кг кормів, грн.	3,4–0,1·р	2,6–0,1·р

Варіанти 6-10

Для виготовлення двох видів болтів А і Б завод використовує як сировину сталь і кольорові метали, запаси яких обмежені. На виготовлення вказаних двох виробів зайняті токарні і фрезерні верстати. У табл. 2.2 приведені вихідні дані. Визначити план випуску продукції, при якому буде досягнутий максимальний прибуток.

Таблиця 2.2

Норми витрат ресурсів та прибуток від реалізації готової продукції

Вид ресурсів	Обсяг ресурсів	Норми витрат на один виріб
		Виріб А	Виріб Б
Сталь (т)	570+р	10	70
Кольорові метали (т)	420+р	20	50
Токарні верстати (станко-г)	5600-10·р	300	400-р
Фрезерні верстати (станко-г)	3400-10·р	200+р	100
Прибуток (тис.грн./т)		3	8

Варіанти 11-15

У четвер їдальня готує два види страв – зрази та котлети. Для приготування використовується м’ясо, крупа, картопля. Норми витрат продуктів для приготування та прибуток від реалізації 100 гр. страви наведено у табл. 2.3. Розрахувати максимальний прибуток їдальні у четвер.

Таблиця 2.3

Норми витрат продуктів та прибуток від реалізації 100 гр. страви

Вид продукту	Запаси продуктів	Норми витрат на 1 страву
		Котлети	Зрази
М’ясо	5·р	0,4	0,15
Крупа	6·р	0,2	0,3
Картопля	4·р	0,25	0,2
Прибуток від реалізації 1 порції страви, грн.		1+0,1·р	0,1·р

Варіанти 16-20

Підприємство хімічної промисловості випускає сірчану і соляну кислоту. Випуск 1 т соляної кислоти приносить прибуток в розмірі 125 грн., а сірчаної – 235 грн. При виробництві 1 т сірчаної кислоти створюється 0,5+0,01·р т небезпечних відходів, а при виробництві 1 т соляної кислоти – 1,2 т. Держзамовлення на сірчану кислоту складає 100+р т, а на соляну – 200+р т. Сумарний обсяг небезпечних речовин не має перевищувати 600+р т, інакше на підприємство накладаються штрафні санкції. Скласти план виробництва кислот для отримання максимального прибутку. Ринкові дослідження показали, що попит кожен вид кислоти, сірчану та соляну, складав у попередньому періоді 400 т на рік.

Варіанти 21-25

Підприємство виготовляє два види добрив «Флора» та «Паросток». Для виробництва добрив використовують азотну кислоту, аміак та калійну сіль. Норми витрат сировини, її запаси на підприємстві, а також прибуток від реалі­зації 100 кг добрива наведені в табл. 2.4. Визначити, скільки підприємство має виготовляти і реалізовувати добрив для отримання максимального прибутку.

Таблиця 2.4

Норми витрат сировини і прибуток від реалізації 100 кг добрива

Вид сировини	Обсяг сировини, т	Норми витрат на 1 тону добрив
		«Флора»	«Паросток»
Азотна кислота	900	1	4
Аміак	1000+10·р	0,1·р	2
Калійна сіль	800	3	0,1·р-0,5
Прибуток (100 кг/грн.)		20+р	30+р

Варіанти 26-30

Для виготовлення двох видів пального П₁ та П₂ використовують три види сировини: бензин, керосин, дизельне пальне. Запаси ресурсів, норми витрат ресурсів, а також величина прибутку, що отримують від реалізації 1 кг пального наведено у табл. 2.5. Необхідно скласти план виробництва пального за умов реалізації якого підприємство отримує максимальний прибуток.

Таблиця 2.5

Норми витрат ресурсів та величина прибутку від реалізації 1 кг пального

Вид сировини	Запаси сировини	Кількість сировини на виготовлення одиниці продукції
		П1	П2
Бензин	70∙р	0,1	0,3
Керосин	300∙р	0,5	0,7
Дизельне пальне	200∙р	0,4	–
Прибуток від реалізації одиниці продукції, грн./кг		0,1· (р+2)	0,1· (р+4)

Лабораторна РОБОТА №3

Побудова лінійної моделі оптимізаційної задачі

та її аналіз

І. Загальні положення

Загальною формою задачі лінійного програмування є задача на знаходження екстремуму (мінімуму чи максимуму) лінійної цільової функції при лінійній системі обмежень, що включає як рівності, так і нерівності обох знаків, і при невідомих змінних, з яких одні пов’язані умовою невід’ємності, другі – умовою недодатності, а на знак третіх ніяких умов не накладено.

ІІ. Теоретичні відомості

За допомогою задачі лінійного програмування можна вирішити багато задач оптимізації, зокрема задачу про раціональне використання наявних ресурсів. У загальному вигляді задача може бути сформульована таким чином.

Припустимо, підприємство може випускати n видів продукції, використовуючи m видів ресурсів. При цьому відомі запаси кожного і-того виду ресурсу ( ), витрати кожного виду ресурсу на випуск кожного j-го виду продукції ( ) та прибуток, що отримується з одиниці випущеної продукції ( ). Мета задачі полягає у тому, щоб скласти такий план виробництва продукції ( ), при якому отриманий підприємством прибуток від виробництва Z був би найбільшим.

Отже, математична модель задачі полягає в тому, щоб знайти виробничу програму, що максимізує цільову функцію:

. (3.1)

При цьому, яка б не була виробнича програма, її компоненти повинні задовольняти умові, що сумарне використання кожного виду ресурсу при виробництві всіх видів продукції не повинно перевищувати наявну кількість даного виду ресурсу, тобто

; (3.2)

. (3.3)

На значення можуть бути додатково накладені обмеження стосовно обсягів виробництва:

; (3.4)

. (3.5)

При цьому, оскільки компоненти виробничої програми – кількість виробів, то вони не можуть бути виражені від’ємними значеннями:

. (3.6)

Для аналізу стійкості важливим є діапазон зміни параметрів, в яких оптимальне рішення залишається оптимальним. У процесі пошуку оптимального рішення можна отримати так званий звіт про стійкість, у якому містяться межі коефіцієнтів цільової функції. Зміна коефіцієнтів в цих межах не призводить до зміни оптимального рішення. Аналогічні інтервали встановлюються для запасів ресурсів. При виході за визначені межі стійкості оптимальне рішення може мінятися як за номенклатурою продукції, що випускається, так і за обсягами випуску (без зміни номенклатури).

Двоїстою до основної задачі (3.1) – (3.6) називається така задача: знайти сукупність значень y₁, y₂,…, y_m, для яких функція:

(3.7)

досягає мінімуму і задовольняє систему нерівностей:

; (3.8)

; (3.9)

. (3.10)

Багато задач лінійного програмування ставляться у вигляді основної або двоїстої задачі, тому є сенс говорити про пару двоїстих задач лінійного програмування.

Якщо одна з пари двоїстих задач має розв’язок (тобто оптимальний план), то і друга – обов’язково має розв’язок, причому:

max Z = min W. (3.11)

Для побудови двоїстої задачі необхідно основну задачу звести до стандартного вигляду, враховуючи тип екстремуму цільової функції.

Побудова двоїстої задачі до основної здійснюється в послідовності:

І. Стандартизація основної задачі:

1) у всіх обмеженнях вільні члени розміщені в правій частині рівності (нерівності), а члени з невідомим – у лівій;

2) усі обмеження нерівності основної задачі мають бути записані так, щоб знаки нерівності у них були спрямовані в один і той самий бік, для цього достатньо окремі нерівності помножити на (-1);

3) загальний знак нерівності системи обмежень пов’язується з оптимізацією форми таким чином: якщо max, то , якщо min, то .

Після стандартизації основної задачі виконується послідовність, спрямованих на формування задачі обмежень (пункт ІІ) та цільової функції (пункт ІІІ) двоїстої задачі.

ІІ. При побудові системи обмежень двоїстої задачі слід дотримуватися таких правил:

1) кожному обмеженню вихідної задачі відповідає невідома у_і в двоїстій задачі, причому двоїста невідома, що відповідає обмеженню нерівності має бути невід’ємною, а рівності можуть мати будь-який знак;

2) кожній невідомій х_і вихідної задачі відповідає обмеження двоїстої. Ці обмеження будують так: множать коефіцієнти a_ij, що стоять при х_і, на відповідні двоїсті невідомі у_і, результати множення додають і ставлять у ліву частину обмежень, а в праву – коефіцієнт при х_і в оптимізуючій формі с_і;

3) у всіх обмеженнях двоїстої задачі ставлять один і той же знак нерівності, протилежний загальному знаку нерівності системи обмежень вихідної задачі.

ІІІ. Для оптимізуючої форми двоїстої задачі мають задовольнятися умови:

1) форма w двоїстої задачі оптимізується у протилежному значенні (якщо Z max, то W min, і навпаки);

2) коефіцієнтами при двоїстих невідомих у формі W є відповідні вільні члени системи обмежень вихідної задачі. Вільний член с₀ форми Z переноситься без змін у форму W.

Оптимальне значення кожної змінної двоїстої задачі визначає позитивний або негативний приріст значення цільової функції за рахунок одиничного приросту (позитивного чи негативного) значення константи в правій частині відповідного обмеження. Оптимальні значення змінних двоїстої задачі називають прихованими доходами або тіньовими цінами. Якщо константи в правих частинах обмежень задають обсяги наявних ресурсів, приховані доходи визначають внесок у прибуток, отриманий за рахунок одиниці кожного з ресурсів, відповідно до виду оптимального рішення прямої задачі.

Коефіцієнти a_ij інтерпретуються як відповідні норми споживання і-го ресурсу в j-му виробничому процесі. Сумою задається економічний ефект за рахунок j-го виробничо-технологічного процесу, обчислений з урахуванням прихованого доходу.