4. Спектральное описание морских волн. Различные виды волновых спектров. Развивающееся и затухающее волнение. Зыбь.

Ветровое волнение можно считать случайным процессом. Поэтому его описание должно даваться в терминах статистических характеристик. Из них главной является совместная плотность распределения вероятностей уровня поверхности Р(𝜼₁, 𝜼₂,…,𝜼_n), где 𝜼_i - отклонение поверхности моря в точке (х_i, у_i) в момент времени t_i. На практике интерес направлен на три момента распределения плотности вероятности.

Первый момент определяет средний уровень моря:

𝜼= Р(𝜼)d𝜼, (2.1)

И он находится через одноточечную плотность распределения Р(𝜼).

Второй момент определяет пространственно-временную корреляционную функцию смещений поверхности:

Z(r,t)=𝜼(r₁,t₁)𝜼(r₂,t₂)= ₁𝜼₂P(𝜼₁,𝜼₂)d 𝜼₁d 𝜼₂, (2.2)

И находится через двухточечную плотность распределения Р(𝜼₁,𝜼₂). Частным случаем уравнения (2.2) являются пространственная корреляционная функция мгновенного смещения поверхности

Z(r)=𝜼(r₁,t)𝜼(r₂,t)= , (2.3)

и временная корреляционная функция смещений поверхности в фиксированной точке

Z_в(t)=𝜼(r,t₁)𝜼(r,t₂)= , (2.4)

Дисперсия волнения, или средний квадрат смещения поверхности, определяется выражением

𝜼²= Z(0,0)= Z_п(0)= ² Р(𝜼)d𝜼, (2.5)

И находится через одноточечную плотность распределения Р(𝜼).

Третий момент определяет асимметрию смещений поверхности относительно среднего уровня

𝜼³= ³ Р(𝜼)d𝜼, (2.6)

Наряду с корреляционной функцией на практике широко используется спектр волнения, получаемый с помощью преобразования Фурье от корреляционной функции. Так, пространственно-временной спектр есть

S(k,ω)= (r,t)exp[ - i(kr-ωt)]drdt. (2.7)

С помощью уравнения (2.7) можно определить частотный спектр

S(ω)= (k, ω)dk= _в(t)exp(iωt)]dt. (2.8)

И пространственный спектр

S(k)= (k, ω)dω= _п(r)exp( - ikr)]dr. (2.9)

Пространственный спектр зависит как от модуля волнового вектора k, так и от его направления (угла), отсчитываемого, как правило, от генерального направления ветра. Обычно выделяют в явном виде угловой спектр Q(ϴ), удовлетворяющий нормировке:

(ϴ)dϴ=1, (2.10)

И одномерный пространственный спектр (спектр по модулям волнового числа)

S₀(k)=k (k)dϴ. (2.11)

Эти виды спектров связаны между собой

k S(k)= S₀(k)Q(ϴ), (2.12)

и только два из них являются независимыми.

Часто на практике используется частотно-угловой спектр; он определяется формулой

S(ω, ϴ)= (k, ω)kdk= S(ω)Q(ϴ). (2.13)

Наряду со спектром колебаний уровня поверхности используют энергетический спектр

E(ω,k)=ρgS(ω,k). (2.16)

Где ρ – плотность воды, g – ускорение свободного падения.

Приведенные выше формулы в сущности относятся к случайному процессу любой физической природы и в них еще не отражена специфика ветрового волнения. Одна из главных особенностей ветровых волн связана с наличием для них дисперсионного соотношения, по крайней мере для энергонесущих волн:ω= gkth(kh). В этом случае пространственно-временной спектр содержит дельта-функцию

S(k,ω)=S(k)δ(ω - gkth(kh)), и различные спектры оказываются связанными между собой. Наиболее важная из них – связь одновременно пространственного и частотного спектров.

S_о(k)=S(ω)dω/dk _{ω= gkth(kh)}.

Так, хорошо известно, что высокочастотная часть спектра ветрового волнения обусловлена обрушением волн. Предельная форма ветровых волн содержит изломы на вершинах с углом 120^о, поэтому асимптотика одномерного пространственного спектра имеет вид

S_о(k)=β_оk^-3, (2.18)

Тогда, используя (2.17) легко найти асимптотики частотного спектра волнения на глубокой и мелкой воде:

S(ω)= (2.19)