3.2 Исследование функции:
3.2.1 По методу Лагранжа:
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
-6,0265 |
-7,3842 |
-0,1208 |
0,4878 |
-0,1733 |
0,3407 |
0,037 |
-0,0083 |
|
0,9516 |
-0,9266 |
2,7116 |
-0,4592 |
0,3904 |
-0,0644 |
0,0254 |
-0,0043 |
|
-0,7472 |
-2,0181 |
-5,1404 |
-0,3672 |
-0,2685 |
-0,1497 |
0,1076 |
0,0128 |
3.2.2 По методу Ньютона:
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
-6,0265 |
-7,3842 |
-0,1208 |
0,4878 |
-0,1733 |
0,3407 |
0,037 |
-0,0083 |
|
0,9516 |
-0,9266 |
2,7116 |
-0,4592 |
0,3904 |
-0,0644 |
0,0254 |
-0,0043 |
|
-0,7472 |
-2,0181 |
-5,1404 |
-0,3672 |
-0,2685 |
-0,1497 |
0,1076 |
0,0128 |
3.2.3 По методу Чебышева:
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
-2,1918 |
-6,7468 |
-0,1266 |
-0,9661 |
-0,3498 |
0,3186 |
-0,0165 |
0,0421 |
|
4,1839 |
-0,9362 |
3,3096 |
-0,5667 |
-0,8205 |
-0,1333 |
0,1011 |
-0,0161 |
|
1,7096 |
-0,8734 |
-3,6239 |
0,0841 |
-1,0335 |
-0,1934 |
0,02 |
-0,0184 |
Рисунок 6. График
зависимости R(x)=f(n)
для точки
Рисунок 7. График зависимости R(x)=f(n) для точки
Рисунок 8. График зависимости R(x)=f(n) для точки
Выводы:
а) с увеличением числа узлов интерполяции точность интерполяции сначала повышается, но впоследствии из-за ограниченности разрядности машинной сетки накапливаются погрешности коэффициентов при членах интерполяционного полинома и точность интерполяции снижается;
б) чем ближе точка, в которой восстанавливается значение функции к узлу интерполяции, тем точнее результат интерполяции;
в) метод Чебышева является наиболее точным из рассмотренных методов, так как узлы интерполяции располагаются неравномерно с целью минимизации погрешности интерполяции. Точность методов Лагранжа и Ньютона одинакова;
г) точность интерполяции плавной функции выше точности интерполяции изогнутой функции, что объясняется большей простотой описания плавной функции интерполяционным полиномом.
Часть 2. Аппроксимация
Цель работы:
исследование методов аппроксимации таблично заданных функций
другими, более простыми.
2.1 Задача аппроксимации
- построение приближенной (аппроксимирующей)
функции в целом наиболее близко проходящей
около данных точек или около данной
непрерывной функции. Близость исходной
и аппроксимирующей функции определяется
числовой мерой − критерием аппроксимации
(близости). Наибольшее распространение
получил квадратичный критерий:
В данной работе
используем метод наименьших квадратов.
Метод базируется на применении в качестве
критерия близости суммы квадратов
отклонений заданных и расчетных значений.
При заданной структуре аппроксимирующей
функции
необходимо таким образом подобрать
параметры этой функции, чтобы получить
наименьшее значение критерия близости
т.е. наилучшую аппроксимацию.
Задана моделирующая функция № 8 вида
с параметрами: A=1, B=2, C=2 и D=3.
Рисунок 9. Моделирующая функция
Аппроксимация проводится на интервале [0,10].
Рассмотрим влияние степени аппроксимирующего полинома на точность аппроксимации в точке (x = 4,76) (по абсолютной величине отклонения значения функции в точке от значения аппроксимирующей функции в той же точке) и в целом на всем интервале (по величине критерия близости).
2.5. Представим результаты исследования в виде таблицы:
порядок аппроксимирующего уравнения (М) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||||
погрешность в точке х=4,76 |
-9,6059 |
-0,0908 |
-0,1482 |
-0,0025 |
0,009 |
0,0013 |
0,0019 |
0,0004 |
||||
величина критерия близости |
635,5040 |
1,0722 |
0,1490 |
0,0125 |
0,0003 |
0 |
0 |
0 |
||||
коэффициенты аппроксимирующих уравнений |
||||||||||||
a0 |
-12,8304 |
0,565 |
0,1374 |
0,0219 |
0,0015 |
-0,0001 |
0 |
0 |
||||
a1 |
10,5907 |
1,4053 |
2,1423 |
2,6222 |
2,8501 |
2,9139 |
2,8904 |
2,8219 |
||||
a2 |
|
0,9185 |
0,7231 |
0,4778 |
0,2855 |
0,2067 |
0,2447 |
0,3769 |
||||
a3 |
|
|
0,0130 |
0,0525 |
0,1070 |
0,1409 |
0,1186 |
0,0274 |
||||
a4 |
|
|
|
-0,0020 |
-0,0082 |
-0,0148 |
-0,0085 |
0,0274 |
||||
a5 |
|
|
|
|
0,0003 |
-0,0008 |
-0,0001 |
-0,0075 |
||||
a6 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0,0009 |
||||
a7 |
|
|
|
|
|
|
0 |
-0,0001 |
||||
a8 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
x |
0 |
1,25 |
2,5 |
3,75 |
5 |
6,25 |
7,5 |
8,75 |
10 |
F(x) |
0 |
4,2060 |
10,2798 |
18,9032 |
30,4161 |
44,9249 |
62,477 |
83,0978 |
106,8024 |
M=1 |
|||||||||
P(x) |
-12,8304 |
0,4080 |
13,6463 |
26,8847 |
40,123 |
53,3614 |
66,5997 |
79,8381 |
93,0764 |
M=4 |
|||||||||
P(x) |
0,0219 |
4,144 |
10,3069 |
18,9523 |
30,4063 |
44,8794 |
62,4663 |
83,1466 |
106,7837 |
M=8 |
|||||||||
P(x) |
0 |
4,2060 |
10,2798 |
18,9032 |
30,4161 |
44,9249 |
62,477 |
83,0978 |
106,8024 |
Рисунок 10. Влияние степени аппроксимирующего полинома М на точность аппроксимации
2.4. Выбрана Моделирующая функция №3 : с параметрами А=1, В=4, С=1, D=2.
Рисунок 11. Моделирующая функция
2.3. Представим результаты исследования в виде таблицы:
порядок аппроксимирующего уравнения (М) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
погрешность в точке х=4,76 |
2,0754 |
1,8207 |
2,1159 |
0,1768 |
0,5683 |
-0,0508 |
0,0408 |
-0,0043 |
|
величина критерия близости |
65,2502 |
64,7958 |
40,4423 |
16,2714 |
2,3437 |
0,2584 |
0,0066 |
0.0 |
|
коэффициенты аппроксимирующих уравнений |
|||||||||
a0 |
1,0636 |
0,7051 |
2,9009 |
4,4392 |
3,7492 |
3,6193 |
3,6365 |
3,6372 |
|
a1 |
0,7262 |
0,9721 |
-2,8131 |
-9,2007 |
-1,4814 |
3,6488 |
-0,1735 |
-2,1816 |
|
a2 |
|
-0,0246 |
0,9792 |
4,2433 |
-2,2707 |
-8,6103 |
-2,4299 |
1,4457 |
|
a3 |
|
|
-0,0669 |
-0,5920 |
1,2555 |
3,9805 |
0,3614 |
-2,4802 |
|
a4 |
|
|
|
0,0263 |
-0,1857 |
-0,7119 |
0,3042 |
1,3575 |
|
a5 |
|
|
|
|
0,0085 |
0,0553 |
-0,0924 |
-0,3094 |
|
a6 |
|
|
|
|
|
-0,0016 |
0,0091 |
0,0343 |
|
a7 |
|
|
|
|
|
|
-0,0003 |
-0,0018 |
|
a8 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
0 |
1,25 |
2,5 |
3,75 |
5 |
6,25 |
7,5 |
8,75 |
10 |
F(x) |
3,6372 |
0,8172 |
-1,4101 |
1,7169 |
7,6279 |
9,9404 |
7,1994 |
4,8700 |
7,8537 |
M=1 |
|||||||||
P(x) |
1,0636 |
1,9714 |
2,8792 |
3,787 |
4,6947 |
5,6025 |
6,5103 |
7,4181 |
8,3259 |
M=4 |
|||||||||
P(x) |
4,4392 |
-1,5236 |
-0,2660 |
3,5819 |
6,9286 |
8,2207 |
7,4430 |
6,1189 |
7,3099 |
M=8 |
|||||||||
P(x) |
3,6372 |
0,8172 |
-1,4101 |
1,7169 |
7,6279 |
9,9404 |
7,1994 |
4,8700 |
7,8537 |
Рисунок 12. Влияние степени аппроксимирующего полинома М на точность аппроксимации
2.4 Выводы: с ростом порядка аппроксимирующего полинома, точность аппроксимации повышается, но возрастает объем вычислений, используемой памяти и времени. Таким образом, для прикладных задач, как правило, ограничиваются получением результата с определенной степенью точности.
Для аппроксимации
гладкой моделирующей функции с точностью
необходим полином
четвертого порядка.
Для аппроксимации изогнутой моделирующей функции погрешности удовлетворяет лишь полином восьмого порядка, точно описывающий моделирующую функцию.