Свойства среднего
Для
и
независимых случайных величин x
и y
выполняются теоремы:
1.
– постоянная выносится из под знака усреднения;
2.
– среднее от суммы равно сумме средних,
3.
– среднее от произведения независимых величин равно произведению их средних.
Доказательство свойства 2
Используем определение среднего (1.5)
.
Функция
описывает распределение случайной
величины x
и она одинакова для
и
,
тогда
;
Доказательство свойства 3
Используем
определение среднего и функцию
распределения
для независимых
случайных величин x
и y.
Согласно теореме об умножении вероятностей
независимых событий
.
Тогда получаем
.
Основные определения
Отклонение от среднего
.
Среднее отклонение от среднего любой величины равно нулю
.
Среднее квадратичное величины
.
(1.7)
Среднее квадратичное отклонение от среднего – дисперсия
.
(1.8)
Флуктуация
.
(1.9)
Относительная флуктуация
.
(1.10)
Если
x
случайным образом изменяется с течением
времени, то относительная флуктуация
показывает долю времени, в течение
которой система находится в состоянии
с
.
Теорема: Относительная флуктуация аддитивной величины, характеризующей систему, уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем и мала для макроскопической системы. Примером аддитивной величины (от лат. additivus – «прибавляемый») является энергия. Флуктуация энергии для макросистемы ничтожно мала, для микросистемы она существенна.
Доказательство
Аддитивная величина X для системы равна сумме значений xk для N независимых подсистем
,
тогда по свойству 2 усреднения
.
Получаем отклонение от среднего
,
и дисперсию
.
Использовано
,
и учтено свойство 3 усреднения
,
.
В результате
.
Относительная флуктуация
.
(П.1.2)
Характеристики случайНой непрерывНой величиНы
Плотность вероятности непрерывной случайной величины x равна вероятности ее обнаружения в единичном интервале около значения x
.
(1.11)
Сравните
– скорость
– перемещение
за единицу времени.
Вероятность
нахождения в интервале
.
Пример:
Пусть
– скорость частицы идеального газа.
Вероятность обнаружения частицы со
скоростью в интервале
,
– концентрация
частиц со скоростями в интервале
,
n – концентрация частиц со всевозможными скоростями.
Условие нормировки
.
(1.12)
Средние значения
,
.
(1.13)
Биномиальное распределение
Описывает N независимых частиц или N независимых попыток с положительным, или отрицательным исходом. Положительный исход назовем случаем.
Если p – вероятность признака у одной частицы, или вероятность одного случая, то вероятность того, что n любых частиц обладают этим признаком, или вероятность возникновения n случаев, равна
,
(1.14)
;
;
– биномиальный
коэффициент.
Выполняется
.
Распределение обосновал Якоб Бернулли в 1713 г.
Якоб Бернулли (1654–1705)
Доказательство:
Объект – идеальный газ из N тождественных частиц в объеме V.
Получим
вероятность обнаружения n
любых частиц в объеме
.
1. Вероятность найти определенную частицу в объеме V согласно определению вероятности (1.4а)
.
Вероятность найти определенную частицу вне объема V
.
Эти несовместимые события образуют полный набор и удовлетворяют условию нормировки.
2. Вероятность найти n определенных частиц в объеме V согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий (1.4б)
.
Вероятность найти (N – n) определенных частиц вне объема V
.
3. Вероятность найти одновременно n определенных частиц в объеме V и (N – n) других частиц вне этого объема
.
4.
Взаимная перестановка тождественных
частиц дает состояние, не отличимое от
исходного. Число таких состояний равно
числу
сочетаний
n
частиц из общего числа N,
т. е. равно
.
5. В результате вероятность найти n любых частиц в объеме V и (N – n) любых других частиц вне V
.