3. Общая, стандартная и основная задачи линейного программирования

Определение 1. Общей задачей ЛП называется задача нахождения максимального (минимального) значения линейной целевой функции

(1) при условиях

, (2)

, (3)

, , (4),

где , , - заданные постоянные величины и .

Определение.2. Функция Z называется целевой функцией задачи (1 - 4), - проектными параметрами задачи, а условия (2 - 4) ограничениями данной задачи.

Определение 3. Стандартной задачей ЛП называется задача нахождения целевой функции (1) при выполнении условий (2), (4), где k=m, l=n, т.е. когда ограничения заданы только в виде неравенств (2), и все проектные параметры удовлетворяют условиям неотрицательности (4), а условия в виде равенств отсутствуют:

,

, .

Определение 4. Канонической (или основной) задачей ЛП называется задача нахождения максимального (минимального) значения функции (1) при выполнении условий (3), (4), где k=0, l=n, m<n, т.е. когда ограничения заданы только в виде равенств (3), и все проектные параметры удовлетворяют условиям неотрицательности (4), а условия в виде неравенств (2) отсутствуют:

,

, , .

Определение 5. Совокупность значений проектных параметров , удовлетворяющих ограничениям задачи (2-4), называется допустимым решением, или планом.

Определение 6. План , при котором целевая функция (1) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным, т.е. .

Все три формы задачи ЛП эквивалентны, ибо каждая из них с помощью некоторых преобразований может быть переписана в форме другой задачи. При этом необходимо пользоваться следующими правилами:

1. Задачу минимизации функции можно свести к задаче максимизации, и, наоборот, путем замены знаков коэффициентов на противоположные, поскольку .

2. Ограничения-неравенства (2) можно заменить эквивалентными ограничениями-равенствами путем введения дополнительных неотрицательных переменных следующим образом:

Ограничение-неравенство вида преобразуется в ограничение-равенство , , а ограничение-неравенство вида - в ограничение-равенство , .

При этом число дополнительных переменных равно числу преобразуемых неравенств.

Вводимые дополнительные переменные имеют вполне определенный смысл. Так, например, для задачи распределения ресурсов числовое значение дополнительной переменной равно объему неиспользованного соответствующего ресурса. С математической точки зрения основные и дополнительные переменные играют одинаковую роль. Поэтому целесообразно их единообразное обозначение.

4. Каждое ограничение-равенство вида (3) можно записать в виде двух неравенств .

5. Переменная , неограниченная условием неотрицательности вида (4), можно заменить разностью двух дополнительных неотрицательных переменных: , , .