1. Непосредственный подсчет вероятностей.

В урне 6 белых и 5 черных шара. Из урны вынимают одновременно 5 шаров. Найти вероятность, что среди них имеется:

а) Р=3 белых шаров;

б) меньше, чем Р=3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Решение:

Посчитаем количество элементарных событий

а)

б) B₁ – ни одного белого шара ;

B₂ –один белый шар ;

B₃ –два белых шара ;

Тогда

в) Рассчитаем событие, когда из урны вынули только черные шары В₄

; ,

Тогда

Ответ: Вероятность того, что а) ;

б) ;

в) .

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Устройство состоит из 3 независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями P_l=0,88, P₂=0,78, P_З=0,73 . Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только 1 элемент;

б) хотя бы один элемент.

Решение:

а) А₁ - Событие, что за время Т вышел из строя 1 элемент состоящее из 3-х

событий и их отрицаний

В₁ - ₁ = вышел из строя 1-й элемент и его отрицание

В₂ - ₂= вышел из строя 2-й элемент и его отрицание

В₃ - ₃ = вышел из строя 3-й элемент и его отрицание

= P₁ = 0,88; = 0,78; = 0,73;

Р(B₁) = 1- = 1– 0,88 = 0,12;

Р(B₂) = 1- = 1– 0,78 = 0,22;

Р(B₃) = 1- = 1– 0.73 = 0,27;

Р(A₁) = 0,88 * 0,78 * 0,27 + 0,88 * 0,22 * 0,73 + 0,12 * 0,78 * 0,73 = 0,414311

б) A₂ – вышел из строя хотя бы один элемент

Рассмотрим противоположное событие , т.е. все элементы работают безотказно.

Р (A₂) = 1- Р( ₁)*P( ₂)*P( ₃) = 1- 0,88*0,78*0,73 = 0,498928

Ответ: a) Р (A₁) = 0,414311;

б) Р (A₂) = 0,992872 .

3. Формула полной вероятности и формула Бейеса.

Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев, ненормальный - в 20%. Вероятность выхода из строя прибора в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном режиме - 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя.

Решение:

А - прибор вышел из строя;

В₁- прибор работает в нормальном

В₂- прибор работает в ненормальном режиме

= 0,1 – вероятность того, что прибор вышел из строя работая в

нормальном режиме.

= 0,7 – вероятность того, что прибор вышел из строя работая в не

нормальном режиме.

= 0,8 - нормальный режим

= 0,2 - не нормальный режим

P(A) = 0,8*0,1 + 0,2*0,7 = 0,22

Ответ: P(A) = 0,22

4. В партии n % = 4 бракованных изделий. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание n = 6 раз изделий:

а) не окажется ни одного бракованного;

б) будет m = 3 бракованных;

в) не более m 3 бракованных изделий?

Решение:

Воспользуемся формулой Бернули:

,

p = 0,04, q =1- p = 1- 0,04 = 0,96.

а) m = 0; n = 6

б) m = 3; n = 6

в) m ; n = 6

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

5. На заводе рабочий за смену изготовляет n = 400 деталей. Вероятность того, что деталь окажется 1 сорта равна р = 0,9. Какова вероятность того, что рабочий за смену изготовит:

а) не менее k_l = 345, но не более k₂ = 372 деталей 1 сорта;

б) k = 350 деталей 1-го сорта?