Тема 10 «Рекурсия»

Цель: Познакомиться с понятием рекурсия.

Вопросы к допуску и защите:

1. Дать определение рекурсии.

2. Виды рекурсии.

3. Алгоритмы рекурсивных функций.

4. Структура рекурсивной процедуры.

Примеры решения задач

Задача 1. Вычисление факториала числа.

Решение

Program Problem1;

uses WinCrt;

var

n : integer;

f : real;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure fac(n : integer; var f : real);

begin

if (n=0) or (n=1) then f := 1

else

begin

fac(n - 1, f);

f := f*n

end

end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

begin

write('Введите натуральное значение n '); readln(n);

fac(n, f);

writeln('Факториал числа ', n, ' равен ', f:12:0)

end.

Задача 2. Над цепью озер летела стая белых гусей. На каждом озере садилось половина гусей и еще полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озерах. Сколько гусей было в стае?

Решение

Математически задача решается устно очень остроумным способом.

Пусть вместе со стаей белых гусей все время летит еще один, Серый гусь. Если к некоторому озеру подлетит m белых гусей и Серый, то на этом озере садится - ровно половина всех гусей вместе с серым. Поэтому после каждого озера число летящих гусей уменьшается ровно вдвое. После семи озер оно уменьшится в 2⁷ = 128 раз, а остается летящим один Серый гусь. Значит, вначале было 128 гусей, из них 127 - белых.

А теперь выполним, образно говоря, прямые рассуждения для решения задачи.

Обозначим через x_k количество летящих белых гусей, когда впереди еще k озер. Тогда условие задачи записывается так:

Отсюда получаем для последовательности (x_k) рекуррентное соотношение

Program Problem2;

uses WinCrt;

var

k : integer;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure goose(x, k : integer);

begin

if k = 1 then write(x) else goose(2*x + 1, k - 1)

end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

begin

write('Введите число озер '); readln(k);

write('В стае было ');

goose(1, k);

writeln(' гусей')

end.

Задача 3. Мой богатый дядюшка подарил мне один доллар в мой первый день рождения. В каждый следующий день рождения он удваивал свой подарок и прибавлял к нему столько долларов, сколько лет мне исполнилось. Написать программу, подсчитывающую общую сумму денег, подаренных к N-му дню рождения и указывающую, к какому дню рождения сумма подарка превысит 100$.

Решение

Введем обозначения: k - число лет племянника, p - количество денег, которые дает дядя на каждом дне рождения, s - общая сумма денег, полученных племянником за все годы, n - счетчик числа дней рождения, который считает в обратном порядке от n (введенного пользователем) до 1.

Задаются первоначальные значения формальным параметрам процедуры: n - вводится пользователем из основной программы (вы обратили внимание, что в этой, как и в предыдущей процедуре нет выходных параметров и нет переменных в самой процедуре, хотя возможны и другие варианты).

Увеличивается число лет: k := k + 1; вычисляется подарок к k-тому дню рождения: p := 2*p + k; вызывается процедура, в которой увеличивается на p общая сумма полученных денег s и уменьшается на 1 число дней рождения:

uncle(k, p, s + p, n - 1)

Далее весь процесс повторяется, до тех пор, пока n не станет равным 1.

Program Rich_man1; { rich man - богатый }

uses WinCrt;

var

n : integer;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure uncle(k, p, s, n : longint); {uncle - дядя}

begin

if n = 1 then write(s)

else

begin

k := k + 1;

p := 2*p + k;

uncle(k, p, s + p, n - 1)

end

end;

{---------------------------------------------------------------------------------------}

begin

write('Введите число лет племянника '); readln(n);

write('Я получу к ', n, '-ому дню рождения ');

uncle(1, 1, 1, n);

writeln(' долларов')

end.

Во второй части условия требуется определить число лет, когда сумма полученных денег будет равна или превысит 100 долларов. Для этого в процедуре меняется опорное условие: if s >= 100 then write(n), а все остальное остается без изменений.

Program Rich_man2;

uses WinCrt;

var

n : integer;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure uncle1(k, p, s, n : longint);

begin

if s >= 100 then write(n)

else

begin

k := k + 1;

p := 2*p + k;

uncle1(k, p, s + p, n + 1)

end

end;

{--------------------------------------------------------------------------------------}

begin

write('Сумма подарка превысит 100 долларов к ');

uncle1(1, 1, 1, 1);

writeln(' -ому дню рождения')

end.

Задача 4. Перемножая большие числа, можно быстро получить переполнение. Поэтому, для того чтобы напечатать произведение, превышающее наибольшее допустимое для данного целого типа (integer или longint) числа, надо применить искусственные средства.

Составим программу для печати произведения двух чисел, которое может превы-шать максимально допустимое целое число.

Решение

Процедура multiplication умножает число a на каждую цифру числа b, начиная с цифры единиц. Последняя цифра полученного произведения, сложенная с последней цифрой имеющегося в памяти частичного произведения, печатается, а все прочие цифры запоминаются - передаются как параметры при рекурсивном обращении к процедуре multiplication. В самом конце производится умножение на первую (левую) цифру числа b. На этом умножение заканчивается. Тогда печатается начало результата - накопившееся частичное произведение без последней цифры (s div 10), а после него при возвращении из рекурсии - все остальные цифры произведения (s mod 10) в обратном порядке по сравнению с тем, как они вычислялись при входе в рекурсию.

Program Problem4; { Большое произведение }

uses WinCrt;

var

x, y : longint;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

Procedure multiplication(a, b, s : longint);

begin

if b <> 0 then

begin

s := s+a*(b mod 10);

multiplication(a, b div 10, s div 10);

write(s mod 10:1)

end

else if s <> 0 then write(s)

end;

{----------------------------------------------------------------------------------------}

begin

write('Введите первый множитель '); readln(x);

write('Введите второй множитель '); readln(y);

write(x,'*',y:1,' = ');

if ((x < 0) and (y > 0)) or ((x > 0) and (y < 0)) then write('-');

multiplication(abs(x), abs(y), 0);

writeln

end.