1.5.2.Матричная форма уравнений узловых напряжений
Использование уравнений узловых напряжений приводит к изменению порядка расчета: вначале определяются значения напряжений в узлах схемы. Тогда количество неизвестных уменьшается до n числа независимых узлов расчетной схемы.
Матричное уравнение узловых напряжений может быть получено путем следующих преобразований:
1.из закона Ома выразим вектор токов в ветвях
I = ZB-1 (UB + EВ) (1.7)
ZB-1 = YВ =
- матрица проводимостей ветвей
где YВi = 1/ ZВi
2.подставим выражение (1.7) в матричное уравнение I закона Кирхгофа
М YВ(UB + EВ) = J
3.используя уравнение связи между узловыми напряжениями и падениями напряжений в ветвях UB [1].
UB = Mt UΔ,
получим матричное уравнение вида:
М YВ(Mt UΔ+ EВ) = J
М YВMt UΔ = J - М YВ EВ (1.8)
Произведение трех матриц (1.8) позволяет получить матрицу узловых проводимостей:
YΔ = М YВMt (1.9)
Общий вид уравнения узловых напряжений:
YΔ UΔ = J - М YВ EВ (1.10)
Для большинства реальных схем замещения нагрузка и генерация моделируются с помощью задающих векторов, поэтому ЭДС в ветвях отсутствует. Тогда при EВ = 0 уравнение узловых напряжений примет вид:
YΔ UΔ = J (1.11)
где
UΔ
= [Ui
– UB]
= 
- вектор узловых напряжений
J = - вектор задающих токов
YΔ
= 
– матрица узловых проводимостей
Структура YΔ определяется физическим смыслом ее элементов:
-на главной диагонали расположены собственные проводимости узлов Yii – равные сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом i;
-симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости ветвей Yij = Yji, которые равны проводимости ветви, находящейся между узлами i и j, или нулю при отсутствии связи между узлами.
Матрица YΔ является симметричной и слабозаполненной, т.е. содержит большое количество нулевых элементов. Эти свойства позволяют реализовать на ЭВМ эффективные алгоритмы расчета режимов с учетом слабой заполненности.
Пример 1.6
Записать матричное уравнение узловых напряжений для расчетной схемы и перейти к системе уравнений (все узлы расчетной схемы нагрузочные)
Y1 = 10 J1 = -10
Y2 = 15 J2 = -30
Y3 = 20 J3 = -55
Y4 = 13
Y5 = 16
1.Составим матрицу инциденций первого рода
1 2 3 4 5
М
=
- - - - -
Б 1 0 -1 0 1
2.Найдем транспонированную матрицу
Мt
= 
3.Определим матрицу узловых проводимостей
YΔ
= М
YВMt
=
. 
. 
=
=
.
=
4.В матричной форме уравнение узловых напряжений имеет вид
. 
= 
5.Перейдем к системе уравнений
2
5UΔ1
- 15 UΔ2
+ 0 UΔ3
= -10
-15 UΔ1 + 47 UΔ2 -12 UΔ3 = -30 (1.12)
0 UΔ1 - 12 UΔ2 +28 UΔ3 = -55
Используя уравнений узловых напряжений, можно провести расчет установившегося режима в следующей последовательности:
1.решая систему уравнений вида (1.12),определяем значение узловых напряжений UΔi.
2.из уравнении связи параметров режима [1] находим падение напряжения в ветвях
UВ = Mt UΔ
3.из уравнения закона Ома (1.1) определяются токи в ветвях схемы
I = YB(UB + EB)
4.по известным значениям I и UΔ Определяются остальные параметры режима P, Q, ΔP, ΔQ и т.д.
Задание 4.
1. Для расчетной схемы Вашего варианта вычислите матрицу узловых проводимостей YΔ .
2. Составьте матрицу YΔ без перемножения матриц с учетом физическо- го смысла её элементов. Сравните полученный результат с матрицей YΔ , вычисленной в п.1.
3. Записать уравнение узловых напряжений в матричной форме и в виде системы уравнений.