4.1 Основні теоретичні положення.
Одною з найважливіших характеристик автоматичної системи є стійкість. Система, яка не володіє стійкістю, не може виконувати функції управління і має нульову або навіть від’ємну ефективність. Стійкість автоматичної системи – це властивість системи повертатись у вихідне положення рівноваги після закінчення впливу, який вивів систему із цього стану. Нестійка система не повертається у вихідне положення, а безперервно віддаляється від нього. Необхідною умовою стійкості за критерієм Гурвіца є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Критерій стійкості Гурвіца - це алгебраїчний критерій, який базується на аналізі характеристичного рівняння системи. Критерій Гурвіца формулюється так: автоматична система, яка описується характеристичним рівнянням:
,
(4.1)
стійка, якщо головний визначник
та всі його діагональні мінори
додатні:
.
При складанні визначника
Гурвіца спочатку по діагоналі розміщують
коефіцієнти, починаючи з
до
:
.
Потім визначник заповнюють по стовпцях: вище діагональних коефіцієнтів записуються коефіцієнти із індексами, що зменшуються, а нижче – із зростаючими. При досягненні нульового або n-го індексу далі ставляться нулі.
Кожен діагональний мінор
визначника Гурвіца
отримують з попереднього мінору
шляхом викреслювання
нижнього рядка і правого стовпчика.
Мінор
отримують з визначника
Гурвіца
за загальним правилом, тобто шляхом
викреслювання з
нижнього рядка і
правого стовпчика. Нижчий діагональний
мінор Гурвіца
.
Частковим випадком застосування критерію стійкості Гурвіца для системи третього порядку є не тільки додатність всіх коефіцієнтів, а й те, щоб добуток середніх коефіцієнтів був більший, ніж добуток крайніх коефіцієнтів. Цей частковий випадок критерію Гурвіца носить назву критерію Вишнеградського.
4.2 Вказівки щодо підготовки до заняття.
Для успішного виконання даної лабораторної роботи необхідно розглянути методику дослідження стійкості АСК за критерієм Гурвіца, що наведені в розглянутих далі прикладах.
Приклад №1. Дослідити систему на стійкість за критерієм Гурвіца, якщо характеристичне рівняння замкнутої системи має наступний вигляд:
.
Розв’язок:
всі коефіцієнти характеристичного
рівняння додатні отже необхідна умова
стійкості виконується:
;
;
.
Запишемо та обрахуємо головний визначник Гурвіца та всі його діагональні мінори:
Висновок: оскільки головний визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори додатні, то система стійка.
Приклад №2. Дослідити систему на стійкість за критерієм Гурвіца, якщо характеристичне рівняння замкнутої системи має наступний вигляд:
.
Розв’язок: всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні отже виконується необхідна умова стійкості. Запишемо та обчислимо головний визначник Гурвіца та всі його діагональні мінори. Для обчислень визначників використаємо ПП „Mathcad”:
Висновок: оскільки головний визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори додатні, то система стійка.
Приклад №3. Дослідити систему на стійкість за критерієм Гурвіца, якщо передавальна функція розімкнутої системи має наступний вигляд:
.
Розв’язок: оскільки критерій Гурвіца досліджує замкнуту систему, то для того, щоб записати характеристичне рівняння, треба прирівняти до 0 суму чисельника і знаменника передавальної функції розімкнутого контуру. Тоді характеристичне рівняння матиме вигляд:
Всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні отже виконується необхідна умова стійкості. Запишемо та обчислимо головний визначник Гурвіца та всі його діагональні мінори. Для обчислень визначників використаємо ПП „Mathcad”:
Висновок: оскільки головний визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори додатні, то система стійка.