1.2.6Задача № 8. Моделирование естественной конвекции жидкой стали внутри затвердевающей отливки.
При моделировании потоков жидкой стали
внутри затвердевающей отливки часто в
качестве моделирующей жидкости используют
горячую воду. Моделирование проводят
преимущественно применительно к
какому-либо конкретному моменту времени
затвердевания металла с известными
значениями характеристик стали (
-
коэффициент расширения,
-
перепад температур в жидкости,
-
коэффициент температуропроводности,
-
кинематическая вязкость и т.д.) и меняются
критерии подобия металлического расплава
и моделирующей жидкости; в этом случае
необходимо строить новую модель.
При моделировании учитывают, что интенсивность охлаждения жидкости определяет скорость ее перемещения и характер потоков. Интенсивность охлаждения жидкости зависит от критерия Нуссельта.
, (8)
где - характерный размер тела;
- коэффициент теплопроводности материала
- коэффициент теплоотдачи от тела во
внешнюю среду.
В теории моделирования для естественной конвекции жидкости найдено, что критерий Нуссельта зависит от произведения двух критериев Грасгофа ( - см. задачу 1.4) и Прандтля ( - см. задачу 1.4). Зависимость имеет следующий вид:
(9)
Для моделирования естественных потоков жидкости необходимо, чтобы соблюдалось следующее равенство критериев:
(10)
В выражении (10) произведение
можно представить так:
(11)
С учетом выражения (1) уравнение (10) можно записать так:
(12)
Задача ставится следующим образом:
соблюдая геометрическое подобие модели
по отношению к натуре, найти характерный
размер модели
,
если известны для модели (горячая вода)
и натуры (жидкая сталь) значения величин
,
,
,
,
,
,
;
,
;
,
,
где
,
- температуропроводность материала
натуры (сталь) и модели (вода);
,
- плотность жидкой стали при более
высокой (
)
и более низкой (
)
температуре;
и
- температура воды и модели, соответственно
в ее центре и на охлаждающейся поверхности;
и
- удельный объем воды, соответственно
в ее центре и на охлаждающейся поверхности.
Из равенства (12)
(13)
В выражении
(13) по заданным величинам в условиях
задачи величинам необходимо вычислить
значения величин
и
.
Значение для жидкой стали считается следующим образом.
Если
и
- плотность стали, г/см3, то удельный
объем ее равен соответственно
и
в см3/г.
Из физики известна зависимость объема жидкости при изменении температуры
, (14)
где 
- коэффициент объемного расширения
жидкости,
-
разность температур боле холодного (
)
и более
горячего объемов.
Выражение (14) для стали можно записать так:
,
откуда
. (15)
Для моделирующей жидкости (вода) уравнение (14) запишем так:
,
откуда
(16)
Таблица 2.8 – Многовариантные задания к задаче № 8 по вычислению характерного размера модели с горячей водой при моделировании естественной конвекции жидкости внутри затвердевающей отливки.
Вариант |
Натура – сталь. |
Модель – вода. |
|||||||
ан, м2/с |
ρtH, г/см3 |
ρОH, г/см3 |
lН, м |
ам, м2/с |
tгм, 0С |
tхм, 0С |
Vгм, см3/г |
Vхм, см3/г |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
0,040·10-4 |
6,50 |
7,20 |
1,00 |
0,135·10-6 |
30 |
10 |
1,0044 |
1,0003 |
2 |
0,052·10-4 |
6,55 |
7,25 |
0,80 |
0,143·10-6 |
35 |
10 |
1,0060 |
1,0003 |
3 |
0,062·10-4 |
6,60 |
7,27 |
0,90 |
0,151·10-6 |
40 |
10 |
1,0078 |
1,0003 |
4 |
0,072·10-4 |
6,65 |
7,30 |
0,95 |
0,135·10-6 |
45 |
10 |
1,0099 |
1,0003 |
5 |
0,042·10-4 |
6,70 |
7,25 |
0,85 |
0,143·10-6 |
50 |
10 |
1,0121 |
1,0003 |
6 |
0,054·10-4 |
6,75 |
7,32 |
0,75 |
0,149·10-6 |
55 |
10 |
1,0145 |
1,0003 |
7 |
0,064·10-4 |
6,80 |
7,38 |
0,60 |
0,153·10-6 |
60 |
10 |
1,0171 |
1,0003 |
8 |
0,074·10-4 |
6,85 |
7,38 |
0,50 |
0,137·10-6 |
65 |
10 |
1,0198 |
1,0003 |
9 |
0,052·10-4 |
6,90 |
7,40 |
0,40 |
0,145·10-6 |
70 |
10 |
1,0227 |
1,0003 |
10 |
0,044·10-4 |
6,95 |
7,40 |
0,45 |
0,153·10-6 |
35 |
15 |
1,0060 |
1,0009 |
11 |
0,066·10-4 |
6,30 |
6,70 |
0,70 |
0,137·10-6 |
40 |
15 |
1,0078 |
1,0009 |
12 |
0,066·10-4 |
6,35 |
6,70 |
0,65 |
0,145·10-6 |
45 |
15 |
1,0099 |
1,0009 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
13 |
0,076·10-4 |
6,40 |
6,70 |
0,60 |
0,151·10-6 |
50 |
15 |
1,0121 |
1,0009 |
14 |
0,054·10-4 |
6,45 |
6,75 |
0,50 |
0,155·10-6 |
55 |
15 |
1,0145 |
1,0009 |
15 |
0,048·10-4 |
6,50 |
7,10 |
1,00 |
0,157·10-6 |
60 |
15 |
1,0171 |
1,0009 |
16 |
0,058·10-4 |
6,55 |
7,25 |
0,95 |
0,139·10-6 |
65 |
15 |
1,0198 |
1,0009 |
17 |
0,068·10-4 |
6,70 |
7,40 |
0,85 |
0,147·10-6 |
70 |
15 |
1,0227 |
1,0009 |
18 |
0,078·10-4 |
6,75 |
7,40 |
0,90 |
0,155·10-6 |
40 |
20 |
1,0078 |
1,0018 |
19 |
0,060·10-4 |
6,80 |
7,40 |
0,70 |
0,139·10-6 |
45 |
20 |
1,0099 |
1,0018 |
20 |
0,050·10-4 |
6,40 |
6,96 |
0,65 |
0,147·10-6 |
50 |
20 |
1,0121 |
1,0018 |
21 |
0,060·10-4 |
6,50 |
7,05 |
1,00 |
0,153·10-6 |
55 |
20 |
1,0145 |
1,0018 |
22 |
0,070·10-4 |
6,60 |
7,10 |
0,90 |
0,141·10-6 |
60 |
20 |
1,0171 |
1,0018 |
23 |
0,080·10-4 |
6,70 |
7,20 |
0,80 |
0,149·10-6 |
65 |
20 |
1,0198 |
1,0018 |
24 |
0,040·10-4 |
6,50 |
6,90 |
0,70 |
0,157·10-6 |
70 |
20 |
1,0227 |
1,0018 |
25 |
0,070·10-4 |
6,60 |
7,00 |
0,90 |
0,141·10-6 |
45 |
25 |
1,0099 |
1,0029 |
Пример решения варианта 1.
1. По уравнению (15) находим для стали (натура) выражение
.
2. По выражению (16) находим для воды (модель) значение
.
3. По выражению (13) находим размер модели
м.
Ответ:
=0,312
м.